Номер 4.13, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.13. a) Докажите, что в интервале (8; 9) нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;

б) докажите, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству $x^2 < 5$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

а) Доказательство для данного утверждения проводится методом от противного, отдельно для наименьшего и наибольшего числа.

Сначала докажем, что в интервале $(8; 9)$ нет наименьшего числа. Предположим, что такое число существует, и обозначим его буквой $m$. По определению принадлежности к интервалу, для числа $m$ должно выполняться неравенство $8 < m < 9$. Рассмотрим число $m'$, равное среднему арифметическому чисел $8$ и $m$: $m' = \frac{8+m}{2}$. Поскольку $m$ больше $8$, их среднее арифметическое будет больше $8$, но меньше $m$. То есть, справедливо двойное неравенство $8 < m' < m$. Это означает, что мы нашли число $m'$, которое также находится в интервале $(8; 9)$, но при этом оно меньше $m$. Данный факт противоречит нашему первоначальному предположению, что $m$ — это наименьшее число в интервале. Следовательно, наименьшего числа в интервале $(8; 9)$ не существует.

Теперь докажем отсутствие наибольшего числа. Предположим, что в интервале $(8; 9)$ существует наибольшее число, и обозначим его буквой $M$. Для него выполняется неравенство $8 < M < 9$. Рассмотрим число $M'$, равное среднему арифметическому чисел $M$ и $9$: $M' = \frac{M+9}{2}$. Поскольку $M$ меньше $9$, их среднее арифметическое будет меньше $9$, но больше $M$. То есть, справедливо двойное неравенство $M < M' < 9$. Это означает, что мы нашли число $M'$, которое также находится в интервале $(8; 9)$, но при этом оно больше $M$. Это противоречит нашему предположению, что $M$ — это наибольшее число в интервале. Следовательно, наибольшего числа в интервале $(8; 9)$ также не существует.

Ответ: Доказано, что в интервале $(8; 9)$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

б) Сначала определим множество чисел, которые удовлетворяют неравенству $x^2 < 5$.

Неравенство $x^2 < 5$ эквивалентно неравенству $|x| < \sqrt{5}$, что в свою очередь означает $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$. Таким образом, мы имеем дело с открытым интервалом $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$. Задача сводится к доказательству того, что в этом интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Доказательство полностью аналогично предыдущему пункту и также проводится методом от противного.

Предположим, что существует наименьшее число в этом множестве, обозначим его $m$. Тогда для него выполняется неравенство $-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$. Рассмотрим число $m' = \frac{-\sqrt{5} + m}{2}$. Так как $m$ больше $-\sqrt{5}$, их среднее арифметическое $m'$ будет удовлетворять неравенству $-\sqrt{5} < m' < m$. Мы нашли число $m'$, которое принадлежит множеству (интервалу $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$), но при этом меньше $m$. Это противоречит предположению, что $m$ — наименьшее число. Значит, наименьшего числа в данном множестве нет.

Предположим, что существует наибольшее число в этом множестве, обозначим его $M$. Тогда для него выполняется неравенство $-\sqrt{5} < M < \sqrt{5}$. Рассмотрим число $M' = \frac{M + \sqrt{5}}{2}$. Так как $M$ меньше $\sqrt{5}$, их среднее арифметическое $M'$ будет удовлетворять неравенству $M < M' < \sqrt{5}$. Мы нашли число $M'$, которое принадлежит данному множеству, но при этом больше $M$. Это противоречит предположению, что $M$ — наибольшее число. Значит, наибольшего числа в данном множестве нет.

Ответ: Среди чисел, удовлетворяющих неравенству $x^2 < 5$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.