Номер 4.19, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.19. На числовой прямой отмечены точки $A(12a + 6a^2)$ и $B(-2a + 3)$. При каких значениях $a$ точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если:

а) $C(-2)$;

б) $C(a)$?

Для того чтобы точка C лежала между точками A и B, ее координата $x_C$ должна быть строго между координатами точек A ($x_A$) и B ($x_B$). Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $x_A < x_C < x_B$ или $x_B < x_C < x_A$. Оба этих случая можно объединить в одно неравенство:

$(x_C - x_A)(x_C - x_B) < 0$

Координаты точек A и B заданы как $x_A = 12a + 6a^2$ и $x_B = -2a + 3$.

а) C(-2);

В этом случае координата точки C равна $x_C = -2$. Подставим координаты в основное неравенство:

$(-2 - (12a + 6a^2))(-2 - (-2a + 3)) < 0$

Упростим выражение:

$(-6a^2 - 12a - 2)(2a - 5) < 0$

Вынесем общий множитель $-2$ из первой скобки:

$-2(3a^2 + 6a + 1)(2a - 5) < 0$

Разделим обе части неравенства на $-2$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(3a^2 + 6a + 1)(2a - 5) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя.

Корень первого множителя: $2a - 5 = 0 \Rightarrow a = \frac{5}{2}$.

Корни второго множителя $3a^2 + 6a + 1 = 0$ найдем через дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Таким образом, мы имеем три корня: $a_1 = \frac{-3 - \sqrt{6}}{3}$, $a_2 = \frac{-3 + \sqrt{6}}{3}$, $a_3 = \frac{5}{2}$.

Отметим эти корни на числовой оси и определим знаки выражения $(3a^2 + 6a + 1)(2a - 5)$ в полученных интервалах.

Интервалы, на которых выражение положительно, и являются решением:

$a \in \left(\frac{-3 - \sqrt{6}}{3}; \frac{-3 + \sqrt{6}}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$

Ответ: $a \in \left(\frac{-3-\sqrt{6}}{3}; \frac{-3+\sqrt{6}}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$.

б) C(a)?

В этом случае координата точки C равна $x_C = a$. Подставим координаты в основное неравенство:

$(a - (12a + 6a^2))(a - (-2a + 3)) < 0$

Упростим выражение:

$(a - 12a - 6a^2)(a + 2a - 3) < 0$

$(-6a^2 - 11a)(3a - 3) < 0$

Вынесем общие множители:

$-a(6a + 11) \cdot 3(a - 1) < 0$

$-3a(6a + 11)(a - 1) < 0$

Разделим обе части на $-3$ и сменим знак неравенства:

$a(6a + 11)(a - 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения: $a = 0$, $6a + 11 = 0 \Rightarrow a = -\frac{11}{6}$, и $a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$.

Отметим корни $-\frac{11}{6}$, $0$, $1$ на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Интервалы, на которых выражение положительно, и являются решением:

$a \in \left(-\frac{11}{6}; 0\right) \cup (1; +\infty)$

Ответ: $a \in \left(-\frac{11}{6}; 0\right) \cup (1; +\infty)$.