Номер 4.21, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.21. Пусть $\varepsilon > 0$. Множество всех точек $x$ числовой прямой, удовлетворяющих неравенству $a - \varepsilon < x < a + \varepsilon$, называют $\varepsilon$-окрестностью точки $a$, при этом точки $a - \varepsilon$ и $a + \varepsilon$ называют граничными точками $\varepsilon$-окрестности точки $a$. При каких $\varepsilon > 0$ точка 12,35 лежит в $\varepsilon$-окрестности точки:

а) 12,5;

б) 12,2?

Согласно определению, точка $x$ лежит в $\varepsilon$-окрестности точки $a$, если выполняется двойное неравенство $a - \varepsilon < x < a + \varepsilon$. Это неравенство можно переписать в более удобном для вычислений виде: $|x - a| < \varepsilon$. Это означает, что расстояние на числовой прямой между точками $x$ и $a$ должно быть меньше $\varepsilon$. Используем это условие для решения обоих пунктов задачи, учитывая, что по условию $\varepsilon > 0$.

а)

В этом пункте нам нужно определить, при каких $\varepsilon > 0$ точка $x = 12,35$ лежит в $\varepsilon$-окрестности точки $a = 12,5$.

Подставим заданные значения $x$ и $a$ в неравенство $|x - a| < \varepsilon$:

$|12,35 - 12,5| < \varepsilon$

Вычислим значение выражения в модуле, которое представляет собой расстояние между точками:

$|-0,15| < \varepsilon$

Раскроем модуль:

$0,15 < \varepsilon$

Таким образом, точка $12,35$ будет лежать в $\varepsilon$-окрестности точки $12,5$ при любом значении $\varepsilon$, которое строго больше $0,15$.

Ответ: $\varepsilon > 0,15$.

б)

Здесь нам нужно определить, при каких $\varepsilon > 0$ точка $x = 12,35$ лежит в $\varepsilon$-окрестности точки $a = 12,2$.

Действуем аналогично предыдущему пункту, подставляя новые значения в неравенство $|x - a| < \varepsilon$:

$|12,35 - 12,2| < \varepsilon$

Вычислим расстояние между точками:

$|0,15| < \varepsilon$

Раскроем модуль:

$0,15 < \varepsilon$

Следовательно, точка $12,35$ будет лежать в $\varepsilon$-окрестности точки $12,2$ при любом значении $\varepsilon$, которое строго больше $0,15$.

Ответ: $\varepsilon > 0,15$.