Номер 5.2, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.2. Используя определение модуля, запишите выражение без знака модуля:

a) $|x - 5|$;

б) $|x - 5| + |x + 8|$;

в) $|x - 5| - |4x - 5|$;

г) $|x - 5| \cdot (x + 3)$.

а) $|x - 5|$

По определению модуля числа: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Применим это определение к выражению $|x - 5|$.

1. Если подмодульное выражение $x - 5$ неотрицательно, то есть $x - 5 \ge 0$, что равносильно $x \ge 5$, то $|x - 5| = x - 5$.

2. Если подмодульное выражение $x - 5$ отрицательно, то есть $x - 5 < 0$, что равносильно $x < 5$, то $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.

Таким образом, выражение можно записать в виде кусочно-заданной функции:

$|x - 5| = \begin{cases} x - 5, & \text{при } x \ge 5 \\ 5 - x, & \text{при } x < 5 \end{cases}$

Ответ: $|x - 5| = \begin{cases} x - 5, & \text{при } x \ge 5 \\ 5 - x, & \text{при } x < 5 \end{cases}$.

б) $|x - 5| + |x + 8|$

В этом выражении два модуля. Чтобы раскрыть их, нужно найти точки, в которых подмодульные выражения равны нулю. Эти точки разделят числовую ось на интервалы, в каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны.

1. Найдём нули подмодульных выражений:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 8 = 0 \implies x = -8$

2. Отметим точки $-8$ и $5$ на числовой оси. Они разбивают её на три промежутка: $(-\infty, -8)$, $[-8, 5)$ и $[5, +\infty)$. Раскроем модули на каждом из этих промежутков.

Случай 1: $x < -8$.
На этом промежутке $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Также $x + 8 < 0$, поэтому $|x + 8| = -(x + 8) = -x - 8$.
Выражение принимает вид: $(5 - x) + (-x - 8) = 5 - x - x - 8 = -2x - 3$.

Случай 2: $-8 \le x < 5$.
На этом промежутке $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = 5 - x$.
А $x + 8 \ge 0$, поэтому $|x + 8| = x + 8$.
Выражение принимает вид: $(5 - x) + (x + 8) = 5 - x + x + 8 = 13$.

Случай 3: $x \ge 5$.
На этом промежутке $x - 5 \ge 0$, поэтому $|x - 5| = x - 5$.
И $x + 8 > 0$, поэтому $|x + 8| = x + 8$.
Выражение принимает вид: $(x - 5) + (x + 8) = x - 5 + x + 8 = 2x + 3$.

Объединяя все случаи, получаем:

$|x - 5| + |x + 8| = \begin{cases} -2x - 3, & \text{при } x < -8 \\ 13, & \text{при } -8 \le x < 5 \\ 2x + 3, & \text{при } x \ge 5 \end{cases}$

Ответ: $|x - 5| + |x + 8| = \begin{cases} -2x - 3, & \text{при } x < -8 \\ 13, & \text{при } -8 \le x < 5 \\ 2x + 3, & \text{при } x \ge 5 \end{cases}$.

в) $|x - 5| - |4x - 5|$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Найдём нули подмодульных выражений.

1. Нули подмодульных выражений:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$4x - 5 = 0 \implies 4x = 5 \implies x = \frac{5}{4}$

2. Точки $\frac{5}{4}$ и $5$ разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, \frac{5}{4})$, $[\frac{5}{4}, 5)$ и $[5, +\infty)$.

Случай 1: $x < \frac{5}{4}$.
На этом промежутке $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Также $4x - 5 < 0$, поэтому $|4x - 5| = -(4x - 5) = 5 - 4x$.
Выражение принимает вид: $(5 - x) - (5 - 4x) = 5 - x - 5 + 4x = 3x$.

Случай 2: $\frac{5}{4} \le x < 5$.
На этом промежутке $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = 5 - x$.
А $4x - 5 \ge 0$, поэтому $|4x - 5| = 4x - 5$.
Выражение принимает вид: $(5 - x) - (4x - 5) = 5 - x - 4x + 5 = 10 - 5x$.

Случай 3: $x \ge 5$.
На этом промежутке $x - 5 \ge 0$, поэтому $|x - 5| = x - 5$.
И $4x - 5 > 0$, поэтому $|4x - 5| = 4x - 5$.
Выражение принимает вид: $(x - 5) - (4x - 5) = x - 5 - 4x + 5 = -3x$.

Объединяя все случаи, получаем:

$|x - 5| - |4x - 5| = \begin{cases} 3x, & \text{при } x < \frac{5}{4} \\ 10 - 5x, & \text{при } \frac{5}{4} \le x < 5 \\ -3x, & \text{при } x \ge 5 \end{cases}$

Ответ: $|x - 5| - |4x - 5| = \begin{cases} 3x, & \text{при } x < \frac{5}{4} \\ 10 - 5x, & \text{при } \frac{5}{4} \le x < 5 \\ -3x, & \text{при } x \ge 5 \end{cases}$.

г) $|x - 5| \cdot (x + 3)$

В этом выражении только один модуль $|x - 5|$. Раскроем его, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $x - 5$.

Точка, в которой подмодульное выражение меняет знак: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.

Случай 1: $x \ge 5$.
В этом случае $x - 5 \ge 0$, поэтому $|x - 5| = x - 5$.
Выражение принимает вид: $(x - 5)(x + 3)$.
Раскроем скобки: $x^2 + 3x - 5x - 15 = x^2 - 2x - 15$.

Случай 2: $x < 5$.
В этом случае $x - 5 < 0$, поэтому $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Выражение принимает вид: $(5 - x)(x + 3)$.
Раскроем скобки: $5x + 15 - x^2 - 3x = -x^2 + 2x + 15$.

Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию:

$|x - 5| \cdot (x + 3) = \begin{cases} x^2 - 2x - 15, & \text{при } x \ge 5 \\ -x^2 + 2x + 15, & \text{при } x < 5 \end{cases}$

Ответ: $|x - 5| \cdot (x + 3) = \begin{cases} x^2 - 2x - 15, & \text{при } x \ge 5 \\ -x^2 + 2x + 15, & \text{при } x < 5 \end{cases}$.