Номер 5.8, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.8. Докажите свойства модуля действительного числа:

a) $|a| \ge a;$

б) $-|a| \le a \le |a|;$

в) $|a| > a \iff a < 0;$

г) $|a| + |b| + |c| = 0 \iff a = b = c = 0.$

а) $|a| \ge a$;

Для доказательства этого свойства рассмотрим два случая, исходя из определения модуля действительного числа:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

1. Случай, когда $a \ge 0$.

По определению модуля, если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Неравенство $|a| \ge a$ превращается в $a \ge a$. Это неравенство является верным для любого $a$.

2. Случай, когда $a < 0$.

По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$. Неравенство $|a| \ge a$ превращается в $-a \ge a$.

Поскольку $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то $-a$ — положительное число ($-a > 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного числа, поэтому неравенство $-a > a$ является верным. Следовательно, верно и нестрогое неравенство $-a \ge a$.

Таким образом, мы показали, что неравенство $|a| \ge a$ выполняется для всех действительных чисел $a$.

Ответ: Свойство доказано.

б) $-|a| \le a \le |a|$;

Это двойное неравенство можно доказать, разбив его на два отдельных неравенства: $a \le |a|$ и $-|a| \le a$.

1. Докажем, что $a \le |a|$.

Рассмотрим два случая:

- Если $a \ge 0$, то по определению $|a| = a$. Неравенство принимает вид $a \le a$, что верно.

- Если $a < 0$, то по определению $|a| = -a$. Неравенство принимает вид $a \le -a$. Так как $a$ отрицательно, а $-a$ положительно, это неравенство верно.

Следовательно, $a \le |a|$ верно для всех действительных $a$.

2. Докажем, что $-|a| \le a$.

Рассмотрим два случая:

- Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Неравенство принимает вид $-a \le a$, или $0 \le 2a$. Так как $a \ge 0$, это неравенство верно.

- Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Неравенство принимает вид $-(-a) \le a$, что упрощается до $a \le a$. Это неравенство верно.

Следовательно, $-|a| \le a$ верно для всех действительных $a$.

Поскольку оба неравенства ($a \le |a|$ и $-|a| \le a$) выполняются для любого действительного числа $a$, то и двойное неравенство $-|a| \le a \le |a|$ также верно.

Ответ: Свойство доказано.

в) $|a| > a \iff a < 0$;

Это утверждение об эквивалентности, поэтому необходимо доказать его в обе стороны (прямую и обратную импликации).

1. Доказательство в прямую сторону ($\implies$): если $|a| > a$, то $a < 0$.

Воспользуемся доказательством от противного. Предположим, что $a \ge 0$. По определению модуля, в этом случае $|a| = a$. Подставив это в исходное неравенство $|a| > a$, получим $a > a$, что является ложным утверждением. Следовательно, наше предположение, что $a \ge 0$, неверно. Отсюда следует, что $a < 0$.

2. Доказательство в обратную сторону ($\impliedby$): если $a < 0$, то $|a| > a$.

Пусть $a < 0$. По определению модуля, в этом случае $|a| = -a$. Нам нужно доказать неравенство $-a > a$. Поскольку $a$ — отрицательное число, $-a$ будет положительным числом. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому неравенство $-a > a$ является верным.

Поскольку мы доказали утверждение в обе стороны, эквивалентность $|a| > a \iff a < 0$ верна.

Ответ: Свойство доказано.

г) $|a| + |b| + |c| = 0 \iff a = b = c = 0$.

Это утверждение об эквивалентности, поэтому необходимо доказать его в обе стороны.

1. Доказательство в прямую сторону ($\implies$): если $|a| + |b| + |c| = 0$, то $a = b = c = 0$.

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, $|a| \ge 0$, $|b| \ge 0$ и $|c| \ge 0$. Сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, из равенства $|a| + |b| + |c| = 0$ вытекает, что одновременно выполняются условия: $|a| = 0$, $|b| = 0$ и $|c| = 0$. Модуль числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. Таким образом, из $|a| = 0$ следует $a = 0$, из $|b| = 0$ следует $b = 0$, и из $|c| = 0$ следует $c = 0$. Значит, $a = b = c = 0$.

2. Доказательство в обратную сторону ($\impliedby$): если $a = b = c = 0$, то $|a| + |b| + |c| = 0$.

Пусть $a = 0$, $b = 0$ и $c = 0$. Тогда их модули также равны нулю: $|a| = |0| = 0$, $|b| = |0| = 0$, $|c| = |0| = 0$. Найдем их сумму: $|a| + |b| + |c| = 0 + 0 + 0 = 0$. Равенство выполняется.

Поскольку мы доказали утверждение в обе стороны, эквивалентность $|a| + |b| + |c| = 0 \iff a = b = c = 0$ верна.

Ответ: Свойство доказано.