Номер 5.7, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.7. a) $|x| \ge x;$

б) $|x| \ge -x;$

В) $|x + 2| \ge x + 2;$

Г) $|x - 2| \ge 2 - x.$

а) Для решения неравенства $|x| \ge x$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $x$, согласно определению модуля.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставляя это в исходное неравенство, получаем:
$x \ge x$
Это тождество верно для любого значения $x$, удовлетворяющего условию $x \ge 0$. Таким образом, решением в этом случае является числовой промежуток $[0; +\infty)$.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:
$-x \ge x$
Перенесем $x$ из правой части в левую:
$-2x \ge 0$
Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 0$
Нам нужно найти пересечение этого решения с условием $x < 0$. Пересечением множеств $(-\infty; 0)$ и $(-\infty; 0]$ является промежуток $(-\infty; 0)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, мы получаем полное множество решений неравенства:
$[0; +\infty) \cup (-\infty; 0) = (-\infty; +\infty)$
Таким образом, неравенство справедливо для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Для решения неравенства $|x| \ge -x$ также рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид:
$x \ge -x$
$2x \ge 0$
$x \ge 0$
Решение $x \ge 0$ полностью совпадает с условием этого случая, значит, все числа из промежутка $[0; +\infty)$ являются решениями.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:
$-x \ge -x$
Это тождество, верное для всех $x$. Учитывая условие $x < 0$, решением в этом случае является промежуток $(-\infty; 0)$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем:
$[0; +\infty) \cup (-\infty; 0) = (-\infty; +\infty)$
Следовательно, неравенство справедливо для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) Неравенство $|x+2| \ge x+2$ является частным случаем свойства модуля $|A| \ge A$. Это свойство выполняется для любого действительного значения выражения $A$. В нашем случае $A = x+2$, поэтому неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Для подробного решения раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. В этом случае $|x+2| = x+2$. Неравенство принимает вид:
$x+2 \ge x+2$
Это верное тождество. Значит, все $x$ из промежутка $[-2; +\infty)$ являются решениями.

2. Если $x+2 < 0$, то есть $x < -2$. В этом случае $|x+2| = -(x+2) = -x-2$. Неравенство принимает вид:
$-x-2 \ge x+2$
$-4 \ge 2x$
$-2 \ge x$, или $x \le -2$
Находим пересечение решения $x \le -2$ с условием случая $x < -2$. Пересечением является интервал $(-\infty; -2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:
$[-2; +\infty) \cup (-\infty; -2) = (-\infty; +\infty)$
Таким образом, неравенство справедливо для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Заметим, что правая часть неравенства $|x-2| \ge 2-x$ является противоположностью выражения под модулем: $2-x = -(x-2)$. Таким образом, неравенство можно записать как $|x-2| \ge -(x-2)$.
Это частный случай свойства модуля $|A| \ge -A$, которое верно для любого действительного значения $A$. В данном случае $A=x-2$, следовательно, неравенство выполняется для любого действительного $x$.
Проведем подробное решение, раскрыв модуль.

1. Если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. В этом случае $|x-2| = x-2$. Неравенство принимает вид:
$x-2 \ge 2-x$
$2x \ge 4$
$x \ge 2$
Решение $x \ge 2$ полностью совпадает с условием этого случая, значит, промежуток $[2; +\infty)$ является решением.

2. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$. В этом случае $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Неравенство принимает вид:
$2-x \ge 2-x$
Это верное тождество. Значит, все $x$ из промежутка $(-\infty; 2)$ являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:
$[2; +\infty) \cup (-\infty; 2) = (-\infty; +\infty)$
Следовательно, неравенство справедливо для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.