Номер 5.5, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

На числовой прямой отметьте все такие точки $x$, которые

удовлетворяют заданному соотношению:

5.5. а) $|x| = -x$;

В) $|x| = x$;

Б) $|x + 2| = x + 2$;

Г) $|x - 2| = 2 - x$.

а) Для решения уравнения $|x| = -x$ необходимо раскрыть модуль. Определение модуля числа $x$: $|x| = x$, если $x \ge 0$.
$|x| = -x$, если $x < 0$.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид $x = -x$. Перенеся $-x$ в левую часть, получим $2x = 0$, откуда $x = 0$. Это значение удовлетворяет исходному условию $x \ge 0$.
2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $-x = -x$. Это верное равенство для любого значения $x$. Следовательно, все $x$ из промежутка $x < 0$ являются решениями.
Объединяя решения из обоих случаев ($x=0$ и $x<0$), получаем, что уравнению удовлетворяют все $x \le 0$. На числовой прямой это луч, начинающийся в точке 0 и идущий в сторону отрицательной бесконечности.
Ответ: $x \le 0$, или $x \in (-\infty, 0]$.

б) Рассмотрим уравнение $|x + 2| = x + 2$. Это равенство вида $|a| = a$, где $a = x+2$. Такое равенство по определению модуля верно тогда и только тогда, когда подмодульное выражение неотрицательно.
То есть, $x + 2 \ge 0$.
Решим это неравенство: $x \ge -2$.
Для полноты решения можно также рассмотреть два случая:
1. Пусть $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Тогда $|x + 2| = x + 2$, и уравнение принимает вид $x + 2 = x + 2$. Это тождество, верное для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge -2$.
2. Пусть $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$. Тогда $|x + 2| = -(x + 2)$, и уравнение принимает вид $-(x + 2) = x + 2$. Отсюда $-x - 2 = x + 2$, что приводит к $2x = -4$, то есть $x = -2$. Но это значение не удовлетворяет условию $x < -2$, поэтому в этом случае решений нет.
Таким образом, решением является множество всех $x \ge -2$. На числовой прямой это луч, начинающийся в точке -2 и идущий в сторону положительной бесконечности.
Ответ: $x \ge -2$, или $x \in [-2, \infty)$.

в) Рассмотрим уравнение $|x| = x$. Это равенство вида $|a| = a$, где $a = x$. По определению модуля, оно выполняется тогда и только тогда, когда $x$ неотрицателен.
То есть, $x \ge 0$.
Проверим это, рассмотрев два случая:
1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид $x = x$. Это тождество, верное для всех $x \ge 0$.
2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $-x = x$. Отсюда $2x = 0$, то есть $x = 0$. Но это значение не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Следовательно, решением является множество всех $x \ge 0$. На числовой прямой это луч, начинающийся в точке 0 и идущий в сторону положительной бесконечности.
Ответ: $x \ge 0$, или $x \in [0, \infty)$.

г) Рассмотрим уравнение $|x - 2| = 2 - x$. Заметим, что $2 - x = -(x - 2)$. Тогда уравнение можно переписать в виде $|x - 2| = -(x - 2)$. Это равенство вида $|a| = -a$, где $a = x - 2$. По определению модуля, оно выполняется тогда и только тогда, когда подмодульное выражение неположительно.
То есть, $x - 2 \le 0$.
Решим это неравенство: $x \le 2$.
Проверим это, рассмотрев два случая:
1. Пусть $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Тогда $|x - 2| = x - 2$, и уравнение принимает вид $x - 2 = 2 - x$. Отсюда $2x = 4$, то есть $x = 2$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 2$.
2. Пусть $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$. Тогда $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$, и уравнение принимает вид $2 - x = 2 - x$. Это тождество, верное для всех $x$, удовлетворяющих условию $x < 2$.
Объединяя решения из обоих случаев ($x=2$ и $x<2$), получаем, что уравнению удовлетворяют все $x \le 2$. На числовой прямой это луч, начинающийся в точке 2 и идущий в сторону отрицательной бесконечности.
Ответ: $x \le 2$, или $x \in (-\infty, 2]$.