Номер 5.6, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5.6. a) $|x| \le x$;

б) $|x| \le -x;$

В) $|x + 2| \le x + 2;$

Г) $|x - 2| \le 2 - x.$

а)

Рассмотрим неравенство $|x| \le x$.

По определению, модуль числа всегда неотрицателен. Неравенство $|A| \le A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $A$ неотрицательно. Это следует из того, что если $A < 0$, то $|A| = -A > 0$, и неравенство $-A \le A$ привело бы к $0 \le 2A$, что противоречит условию $A<0$. Если же $A \ge 0$, то $|A| = A$, и неравенство $A \le A$ всегда верно.

Таким образом, неравенство $|x| \le x$ равносильно условию $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$

б)

Рассмотрим неравенство $|x| \le -x$.

Неравенство вида $|A| \le -A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение $A$ неположительно. Это следует из того, что если $A > 0$, то $|A| = A$, и неравенство $A \le -A$ привело бы к $2A \le 0$, что противоречит условию $A>0$. Если же $A \le 0$, то $|A| = -A$, и неравенство $-A \le -A$ всегда верно.

Таким образом, неравенство $|x| \le -x$ равносильно условию $x \le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$

в)

Рассмотрим неравенство $|x+2| \le x+2$.

Это неравенство имеет вид $|A| \le A$, где $A = x+2$. Как и в пункте а), такое неравенство справедливо только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно.

Значит, мы должны решить неравенство:

$x + 2 \ge 0$

Вычитаем 2 из обеих частей:

$x \ge -2$

Ответ: $x \in [-2, +\infty)$

г)

Рассмотрим неравенство $|x-2| \le 2-x$.

Заметим, что правая часть неравенства является противоположной выражению под модулем: $2-x = -(x-2)$. Перепишем неравенство:

$|x-2| \le -(x-2)$

Это неравенство имеет вид $|A| \le -A$, где $A = x-2$. Как и в пункте б), такое неравенство справедливо только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно.

Значит, мы должны решить неравенство:

$x - 2 \le 0$

Прибавляем 2 к обеим частям:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$