Номер 4.23, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.23. Известно, что $2,1 < a < 2,2$, $0 < b < 0,1$. Определите, в каких границах лежит число $c$:

а) $c = a + b$;

б) $c = 3a - 5b$;

в) $c = ab$;

г) $c = \frac{a}{b}$.

Даны интервалы для чисел $a$ и $b$:
$2,1 < a < 2,2$
$0 < b < 0,1$

Необходимо определить границы для числа $c$ в каждом из следующих случаев.

а) $c = a + b$

Для нахождения границ суммы $c = a + b$ необходимо сложить соответствующие части неравенств. Складывать неравенства одного знака можно почленно.

Нижняя граница для $c$ находится как сумма нижних границ для $a$ и $b$: $2,1 + 0 = 2,1$.

Верхняя граница для $c$ находится как сумма верхних границ для $a$ и $b$: $2,2 + 0,1 = 2,3$.

Таким образом, получаем следующее двойное неравенство:
$2,1 + 0 < a + b < 2,2 + 0,1$
$2,1 < c < 2,3$

Ответ: $2,1 < c < 2,3$.

б) $c = 3a - 5b$

Сначала найдем границы для выражений $3a$ и $5b$.

Умножим неравенство $2,1 < a < 2,2$ на 3:
$3 \cdot 2,1 < 3a < 3 \cdot 2,2$
$6,3 < 3a < 6,6$

Умножим неравенство $0 < b < 0,1$ на 5:
$5 \cdot 0 < 5b < 5 \cdot 0,1$
$0 < 5b < 0,5$

Чтобы найти границы разности $c = 3a - 5b$, необходимо из наименьшего значения уменьшаемого ($3a$) вычесть наибольшее значение вычитаемого ($5b$) для получения нижней границы, и из наибольшего значения уменьшаемого вычесть наименьшее значение вычитаемого для получения верхней границы.

Нижняя граница для $c$: $6,3 - 0,5 = 5,8$.

Верхняя граница для $c$: $6,6 - 0 = 6,6$.

Итак, границы для $c$:
$5,8 < c < 6,6$

Ответ: $5,8 < c < 6,6$.

в) $c = ab$

Так как все значения в данных неравенствах ($2,1 < a < 2,2$ и $0 < b < 0,1$) положительны, мы можем почленно перемножить их, чтобы найти границы для произведения $c = ab$.

Нижняя граница для $c$ равна произведению нижних границ $a$ и $b$: $2,1 \cdot 0 = 0$.

Верхняя граница для $c$ равна произведению верхних границ $a$ и $b$: $2,2 \cdot 0,1 = 0,22$.

В результате получаем:
$2,1 \cdot 0 < ab < 2,2 \cdot 0,1$
$0 < c < 0,22$

Ответ: $0 < c < 0,22$.

г) $c = \frac{a}{b}$

Для нахождения границ частного $c = \frac{a}{b}$ при положительных $a$ и $b$, нужно:
1. Для нижней границы: разделить наименьшее значение числителя ($a$) на наибольшее значение знаменателя ($b$).
2. Для верхней границы: разделить наибольшее значение числителя ($a$) на наименьшее значение знаменателя ($b$).

Нижняя граница для $c$:
$\frac{\min(a)}{\max(b)} = \frac{2,1}{0,1} = 21$

Верхняя граница для $c$:
$\frac{\max(a)}{\min(b)}$
Знаменатель $b$ ограничен неравенством $0 < b < 0,1$, то есть $b$ может быть сколь угодно малым положительным числом. Когда знаменатель положительной дроби стремится к нулю, сама дробь стремится к плюс бесконечности ($+\infty$).

Следовательно, у величины $c$ нет конечной верхней границы. Неравенство для $c$ будет иметь вид:
$c > 21$

Ответ: $c > 21$ (или $21 < c < +\infty$).