Номер 4.17, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.17. a) Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий 33 целых числа, большее из которых есть 12.

б) Найдите промежуток наибольшей длины, содержащий не более четырёх целых чисел, меньшее из которых есть 18.

а) По условию, отрезок должен содержать 33 целых числа, и наибольшее из этих чисел равно 12. Чтобы отрезок, содержащий эти числа, имел наименьшую длину, целые числа должны идти подряд.

Пусть $n$ — наименьшее из этих 33 целых чисел. Тогда все целые числа на отрезке — это последовательность $n, n+1, \dots, 11, 12$. Количество чисел в такой последовательности равно $12 - n + 1$.

Составим уравнение на основе условия о количестве чисел:

$12 - n + 1 = 33$

$13 - n = 33$

$n = 13 - 33 = -20$

Таким образом, искомые целые числа — это все целые от -20 до 12 включительно. Отрезок наименьшей длины, содержащий все эти числа, — это отрезок, концами которого являются наименьшее и наибольшее из этих чисел, то есть отрезок $[-20, 12]$.

Длина этого отрезка равна разности его концов:

$L = 12 - (-20) = 12 + 20 = 32$

Ответ: Отрезок $[-20, 12]$, его длина равна 32.

б) По условию, промежуток должен содержать не более четырёх целых чисел, и наименьшее из них равно 18. Нам нужно найти промежуток наибольшей возможной длины, удовлетворяющий этим условиям.

Пусть $k$ — количество целых чисел в промежутке. По условию $1 \le k \le 4$ (так как наименьшее число 18 существует, $k$ не может быть 0).

Чтобы длина промежутка была наибольшей, он должен содержать максимально возможное количество целых чисел, то есть $k=4$.

Поскольку наименьшее целое число равно 18, этими четырьмя числами будут 18, 19, 20 и 21.

Итак, искомый промежуток должен содержать числа $\{18, 19, 20, 21\}$, но не должен содержать никакие другие целые числа. Это означает, что он не должен содержать ни число 17, ни число 22.

Пусть промежуток имеет вид $(a, b)$, $[a, b)$, $(a, b]$ или $[a, b]$. Чтобы он содержал 18, 19, 20, 21, но не 17 и 22, его левая граница $a$ должна быть больше 17, а правая граница $b$ должна быть меньше 22. То есть, $17 < a \le 18$ и $21 \le b < 22$.

Длина промежутка равна $L = b - a$. Чтобы максимизировать эту длину, нужно взять наименьшее возможное значение $a$ и наибольшее возможное значение $b$. Наименьшая граница для $a$ — это 17, а наибольшая для $b$ — это 22.

Таким образом, чтобы получить наибольшую длину, мы должны выбрать промежуток, который максимально "растянут" между целыми числами 17 и 22. Таким промежутком является открытый интервал $(17, 22)$.

Этот промежуток содержит целые числа 18, 19, 20, 21 (ровно четыре числа), наименьшее из которых 18. Длина этого промежутка равна $22 - 17 = 5$. Любой другой промежуток, удовлетворяющий условию, будет иметь длину меньше 5.

Ответ: Промежуток $(17, 22)$, его длина равна 5.