Номер 4.14, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

04.14. Число $m$ называют точной верхней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \le m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ ($\varepsilon$ — буква греческого алфавита эпсилон) существует такое число $x_{\varepsilon} \in X$, что $x_{\varepsilon} > m - \varepsilon$. Найдите точную верхнюю границу множества $X$, если:

a) $X = [0; 1];$

б) $X = [0; 1);$

в) $X = \left\{x \middle| x = \frac{1}{n}, n \in N\right\};$

г) $X = \left\{x \middle| x = \frac{1+5n}{n}, n \in N\right\}.$

а) Для множества $X = [0; 1]$ точной верхней границей (супремумом), обозначаемой $m$, является число 1. Проверим это по определению, данным в условии задачи.

1. Условие верхней границы: для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \le m$.Для множества $X = [0; 1]$ и $m=1$ это условие выполняется, так как любой элемент $x$ из этого отрезка не превосходит 1, то есть $x \le 1$.

2. Условие точности (наименьшей верхней границы): для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_{\varepsilon} \in X$, что $x_{\varepsilon} > m - \varepsilon$.В нашем случае, для $m=1$ нужно показать, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется $x_{\varepsilon} \in [0; 1]$, такой что $x_{\varepsilon} > 1 - \varepsilon$. Мы можем выбрать $x_{\varepsilon} = 1$. Этот элемент принадлежит множеству $X = [0; 1]$, и неравенство $1 > 1 - \varepsilon$ справедливо для любого положительного $\varepsilon$.

Оба условия выполнены, следовательно, точная верхняя граница множества $X = [0; 1]$ равна 1.

Ответ: 1

б) Для множества $X = [0; 1)$ точной верхней границей (супремумом) является число $m=1$.

1. Условие верхней границы: для любого $x \in [0; 1)$ по определению полуинтервала выполняется $x < 1$, что означает $x \le 1$. Таким образом, $m=1$ является верхней границей множества $X$.

2. Условие точности: для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти $x_{\varepsilon} \in [0; 1)$ такой, что $x_{\varepsilon} > 1 - \varepsilon$.Рассмотрим произвольное $\varepsilon > 0$. Нам нужно найти элемент $x_{\varepsilon}$ в интервале $(1 - \varepsilon, 1)$.
- Если $\varepsilon \ge 1$, то $1 - \varepsilon \le 0$. Мы можем взять любое число из $X$, например, $x_{\varepsilon} = 0.5$. Тогда $x_{\varepsilon} \in [0; 1)$ и $0.5 > 1 - \varepsilon$.
- Если $0 < \varepsilon < 1$, то $0 < 1 - \varepsilon < 1$. В качестве $x_{\varepsilon}$ можно взять, например, середину интервала $(1-\varepsilon, 1)$, то есть $x_{\varepsilon} = \frac{(1-\varepsilon)+1}{2} = 1 - \frac{\varepsilon}{2}$. Так как $0 < \varepsilon < 1$, то $0 < \frac{\varepsilon}{2} < \frac{1}{2}$, и $1/2 < 1 - \frac{\varepsilon}{2} < 1$. Следовательно, $x_{\varepsilon} \in [0; 1)$. При этом $1 - \frac{\varepsilon}{2} > 1 - \varepsilon$, так как $\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$.Таким образом, для любого $\varepsilon > 0$ существует требуемый элемент.

Оба условия выполнены, значит, точная верхняя граница множества $X = [0; 1)$ равна 1.

Ответ: 1

в) Рассмотрим множество $X = \left\{x \left| x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}\right.\right\}$. Элементы этого множества образуют последовательность: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$. Наибольший элемент этого множества равен 1 (при $n=1$). Покажем, что точная верхняя граница $m=1$.

1. Условие верхней границы: для любого $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа: $1, 2, 3, \dots$) выполняется $n \ge 1$, откуда следует, что $\frac{1}{n} \le 1$. Значит, все элементы множества $X$ не превосходят 1. $m=1$ — верхняя граница.

2. Условие точности: для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти $x_{\varepsilon} \in X$ такой, что $x_{\varepsilon} > 1 - \varepsilon$. Мы можем выбрать $x_{\varepsilon}$, соответствующий $n=1$, то есть $x_{\varepsilon} = 1$. Этот элемент принадлежит множеству $X$. Неравенство $1 > 1 - \varepsilon$ выполняется для любого $\varepsilon > 0$.

Оба условия выполнены, следовательно, точная верхняя граница множества $X$ равна 1.

Ответ: 1

г) Рассмотрим множество $X = \left\{x \left| x = \frac{1 + 5n}{n}, n \in \mathbb{N}\right.\right\}$. Упростим выражение для элемента множества: $x = \frac{1}{n} + \frac{5n}{n} = 5 + \frac{1}{n}$.

Элементы множества: при $n=1, x_1=6$; при $n=2, x_2=5.5$; при $n=3, x_3=5+\frac{1}{3}$, и так далее. Это убывающая последовательность, наибольший элемент которой равен 6. Покажем, что точная верхняя граница $m=6$.

1. Условие верхней границы: для любого $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$, поэтому $0 < \frac{1}{n} \le 1$. Тогда $5 < 5 + \frac{1}{n} \le 5+1=6$. Таким образом, для любого $x \in X$ выполняется $x \le 6$. $m=6$ — верхняя граница.

2. Условие точности: для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти $x_{\varepsilon} \in X$ такой, что $x_{\varepsilon} > 6 - \varepsilon$. Мы можем выбрать элемент, соответствующий $n=1$, то есть $x_{\varepsilon} = 6$. Этот элемент принадлежит множеству $X$. Неравенство $6 > 6 - \varepsilon$ выполняется для любого $\varepsilon > 0$.

Оба условия выполнены, следовательно, точная верхняя граница множества $X$ равна 6.

Ответ: 6