Номер 4.16, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.16. а) Найдите все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(-5; b]$ содержится ровно 8 целых чисел.

б) Найдите все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(-5; b)$ содержится ровно 8 целых чисел.

в) Найдите все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $[b; 8]$ находится ровно 8 целых чисел.

г) Найдите все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(b; b + 4]$ находится ровно 5 целых чисел.

а) Найдём все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(-5; b]$ содержится ровно 8 целых чисел.

Промежуток $(-5; b]$ не включает левую границу $-5$. Следовательно, наименьшим целым числом, которое может входить в этот промежуток, является $-4$.

Нам необходимо, чтобы в промежутке было ровно 8 целых чисел. Выпишем 8 последовательных целых чисел, начиная с $-4$:$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.

Чтобы в промежутке $(-5; b]$ содержались именно эти числа и никакие другие, должны выполняться два условия:

1. Самое большое из этих чисел, то есть 3, должно принадлежать промежутку. Так как правая граница промежутка, $b$, включается (квадратная скобка), то должно выполняться неравенство $b \ge 3$.
2. Следующее целое число, то есть 4, не должно принадлежать промежутку. Это означает, что $b$ должно быть строго меньше 4, то есть $b < 4$.

Объединяя оба условия, получаем систему неравенств:$\begin{cases} b \ge 3 \\ b < 4 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $b \in [3; 4)$.

Ответ: $b \in [3; 4)$.

б) Найдём все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(-5; b)$ содержится ровно 8 целых чисел.

Как и в предыдущем пункте, искомые 8 целых чисел — это $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.

Промежуток $(-5; b)$ не включает правую границу $b$. Условия для параметра $b$ будут следующими:

1. Самое большое из этих чисел, 3, должно принадлежать промежутку. Так как правая граница $b$ не включается (круглая скобка), то $b$ должно быть строго больше 3, то есть $b > 3$.
2. Следующее целое число, 4, не должно принадлежать промежутку. Это означает, что $b$ должно быть меньше или равно 4. Если $b=4$, то промежуток $(-5; 4)$ не содержит число 4. Итак, $b \le 4$.

Объединяя оба условия, получаем систему неравенств:$\begin{cases} b > 3 \\ b \le 4 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $b \in (3; 4]$.

Ответ: $b \in (3; 4]$.

в) Найдём все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $[b; 8]$ находится ровно 8 целых чисел.

Промежуток $[b; 8]$ включает правую границу 8, значит, 8 является одним из целых чисел в промежутке. Нам нужно найти 8 последовательных целых чисел, последним из которых является 8. Выпишем их в обратном порядке:$8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$.

Чтобы в промежутке $[b; 8]$ содержались именно эти числа, должны выполняться условия:

1. Самое маленькое из этих чисел, 1, должно принадлежать промежутку. Так как левая граница $b$ включается (квадратная скобка), то должно выполняться неравенство $b \le 1$.
2. Предыдущее целое число, 0, не должно принадлежать промежутку. Это означает, что $b$ должно быть строго больше 0, то есть $b > 0$.

Объединяя оба условия, получаем систему неравенств:$\begin{cases} b > 0 \\ b \le 1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $b \in (0; 1]$.

Ответ: $b \in (0; 1]$.

г) Найдём все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(b; b + 4]$ находится ровно 5 целых чисел.

Предположим, что такие значения $b$ существуют. Если в промежутке содержится ровно 5 целых чисел, то они должны быть последовательными. Обозначим их как $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ для некоторого целого числа $n$.

Для того, чтобы все эти 5 чисел находились в промежутке $(b; b + 4]$, необходимо, чтобы каждое из них удовлетворяло неравенству $b < k \le b+4$. В частности, это должно выполняться для наименьшего и наибольшего из этих чисел.

1. Наименьшее число, $n$, должно принадлежать промежутку: $b < n$.
2. Наибольшее число, $n+4$, должно принадлежать промежутку: $n+4 \le b+4$.

Рассмотрим второе неравенство: $n+4 \le b+4$. Вычтем 4 из обеих частей, получим $n \le b$.

Таким образом, мы получили два условия для параметра $b$, которые должны выполняться одновременно:$\begin{cases} b < n \\ b \ge n \end{cases}$

Эти два неравенства противоречат друг другу: $b$ не может быть одновременно строго меньше $n$ и больше либо равно $n$.Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: таких значений $b$ не существует.