Страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.15. Число $m$ называют точной нижней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \ge m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < m + \varepsilon$. Найдите точную нижнюю границу множества $X$, если:

а) $X = [0; 1];$

б) $X = [0; 1);$

в) $X = \left\{x \left| x = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \right.\right\};$

г) $X = \left\{x \left| x = \frac{1+5n}{n}, n \in \mathbb{N} \right.\right\}.$

Точная нижняя граница (инфимум) множества $X$, обозначаемая как $\inf X$, является наибольшей из всех нижних границ множества. Согласно определению, данному в условии, число $m$ является точной нижней границей множества $X$, если выполняются два условия:

1. $\forall x \in X: x \ge m$ (m — нижняя граница).
2. $\forall \varepsilon > 0 \ \exists x_\varepsilon \in X: x_\varepsilon < m + \varepsilon$ (не существует нижней границы, большей чем m).

Найдем точные нижние границы для каждого из предложенных множеств.

а) $X = [0; 1]$

Множество $X$ представляет собой замкнутый числовой промежуток от 0 до 1.

1. Проверим первое условие для $m = 0$. Для любого элемента $x \in [0; 1]$ по определению промежутка справедливо неравенство $x \ge 0$. Следовательно, $m = 0$ является нижней границей множества $X$.

2. Проверим второе условие. Для любого $\varepsilon > 0$ нам нужно найти такой элемент $x_\varepsilon \in [0; 1]$, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$, то есть $x_\varepsilon < \varepsilon$. Поскольку $0 \in X$, мы можем взять $x_\varepsilon = 0$. Тогда $0 < \varepsilon$ для любого $\varepsilon > 0$. Условие выполняется.

Оба условия выполнены, значит, точная нижняя граница множества $X = [0; 1]$ равна 0. В данном случае инфимум является минимальным элементом множества, так как $0 \in X$.

Ответ: $\inf X = 0$.

б) $X = [0; 1)$

Множество $X$ представляет собой полуинтервал от 0 до 1, включая 0.

1. Проверим первое условие для $m = 0$. Для любого элемента $x \in [0; 1)$ по определению полуинтервала справедливо неравенство $x \ge 0$. Следовательно, $m = 0$ является нижней границей множества $X$.

2. Проверим второе условие. Как и в предыдущем пункте, для любого $\varepsilon > 0$ нам нужно найти $x_\varepsilon \in [0; 1)$ такой, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$. Мы можем выбрать $x_\varepsilon = 0$, так как $0 \in X$. Неравенство $0 < \varepsilon$ истинно для любого $\varepsilon > 0$.

Оба условия выполнены. Точная нижняя граница множества $X = [0; 1)$ равна 0. Инфимум также является минимумом множества.

Ответ: $\inf X = 0$.

в) $X = \{x | x = \frac{1}{n}, n \in N\}$

Множество $X$ состоит из элементов $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \}$. Все элементы этого множества положительны. Предположим, что точная нижняя граница $m = 0$.

1. Проверим первое условие. Для любого натурального числа $n \in N$ (где $N = \{1, 2, 3, \dots\}$), $n > 0$, следовательно $x = \frac{1}{n} > 0$. Таким образом, $x \ge 0$ для всех $x \in X$. Значит, $m=0$ является нижней границей.

2. Проверим второе условие. Для любого $\varepsilon > 0$ мы должны показать, что существует элемент $x_\varepsilon \in X$ такой, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$, то есть $\frac{1}{n} < \varepsilon$. Это неравенство равносильно $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Согласно свойству Архимеда, для любого положительного действительного числа, в данном случае $\frac{1}{\varepsilon}$, всегда найдется натуральное число $n$, которое больше него. Например, можно взять $n = \lfloor\frac{1}{\varepsilon}\rfloor + 1$. Для такого $n$ элемент $x_\varepsilon = \frac{1}{n}$ принадлежит множеству $X$ и удовлетворяет требуемому неравенству.

Оба условия выполняются, следовательно, $m=0$ — точная нижняя граница множества $X$. Заметим, что $0 \notin X$, поэтому у множества нет минимального элемента.

Ответ: $\inf X = 0$.

г) $X = \{x | x = \frac{1 + 5n}{n}, n \in N\}$

Преобразуем выражение для элементов множества: $x = \frac{1 + 5n}{n} = \frac{1}{n} + \frac{5n}{n} = \frac{1}{n} + 5$.

Множество $X$ состоит из элементов $\{6, 5\frac{1}{2}, 5\frac{1}{3}, \dots \}$. С ростом $n$ член $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, а сами элементы множества стремятся к 5. Предположим, что точная нижняя граница $m = 5$.

1. Проверим первое условие. Для любого натурального $n \in N$, $\frac{1}{n} > 0$. Следовательно, $x = 5 + \frac{1}{n} > 5$. Таким образом, $x \ge 5$ для всех $x \in X$. Значит, $m=5$ является нижней границей.

2. Проверим второе условие. Для любого $\varepsilon > 0$ мы должны показать, что существует элемент $x_\varepsilon \in X$ такой, что $x_\varepsilon < 5 + \varepsilon$. Подставим выражение для $x_\varepsilon$: $5 + \frac{1}{n} < 5 + \varepsilon$. Это неравенство упрощается до $\frac{1}{n} < \varepsilon$, что эквивалентно $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Как и в предыдущем пункте, по свойству Архимеда такое натуральное число $n$ всегда существует.

Оба условия выполняются, следовательно, $m=5$ — точная нижняя граница множества $X$. Так как $5 \notin X$, у множества нет минимального элемента.

Ответ: $\inf X = 5$.

4.16. а) Найдите все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(-5; b]$ содержится ровно 8 целых чисел.

б) Найдите все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(-5; b)$ содержится ровно 8 целых чисел.

в) Найдите все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $[b; 8]$ находится ровно 8 целых чисел.

г) Найдите все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(b; b + 4]$ находится ровно 5 целых чисел.

а) Найдём все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(-5; b]$ содержится ровно 8 целых чисел.

Промежуток $(-5; b]$ не включает левую границу $-5$. Следовательно, наименьшим целым числом, которое может входить в этот промежуток, является $-4$.

Нам необходимо, чтобы в промежутке было ровно 8 целых чисел. Выпишем 8 последовательных целых чисел, начиная с $-4$:$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.

Чтобы в промежутке $(-5; b]$ содержались именно эти числа и никакие другие, должны выполняться два условия:

1. Самое большое из этих чисел, то есть 3, должно принадлежать промежутку. Так как правая граница промежутка, $b$, включается (квадратная скобка), то должно выполняться неравенство $b \ge 3$.
2. Следующее целое число, то есть 4, не должно принадлежать промежутку. Это означает, что $b$ должно быть строго меньше 4, то есть $b < 4$.

Объединяя оба условия, получаем систему неравенств:$\begin{cases} b \ge 3 \\ b < 4 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $b \in [3; 4)$.

Ответ: $b \in [3; 4)$.

б) Найдём все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(-5; b)$ содержится ровно 8 целых чисел.

Как и в предыдущем пункте, искомые 8 целых чисел — это $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.

Промежуток $(-5; b)$ не включает правую границу $b$. Условия для параметра $b$ будут следующими:

1. Самое большое из этих чисел, 3, должно принадлежать промежутку. Так как правая граница $b$ не включается (круглая скобка), то $b$ должно быть строго больше 3, то есть $b > 3$.
2. Следующее целое число, 4, не должно принадлежать промежутку. Это означает, что $b$ должно быть меньше или равно 4. Если $b=4$, то промежуток $(-5; 4)$ не содержит число 4. Итак, $b \le 4$.

Объединяя оба условия, получаем систему неравенств:$\begin{cases} b > 3 \\ b \le 4 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $b \in (3; 4]$.

Ответ: $b \in (3; 4]$.

в) Найдём все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $[b; 8]$ находится ровно 8 целых чисел.

Промежуток $[b; 8]$ включает правую границу 8, значит, 8 является одним из целых чисел в промежутке. Нам нужно найти 8 последовательных целых чисел, последним из которых является 8. Выпишем их в обратном порядке:$8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$.

Чтобы в промежутке $[b; 8]$ содержались именно эти числа, должны выполняться условия:

1. Самое маленькое из этих чисел, 1, должно принадлежать промежутку. Так как левая граница $b$ включается (квадратная скобка), то должно выполняться неравенство $b \le 1$.
2. Предыдущее целое число, 0, не должно принадлежать промежутку. Это означает, что $b$ должно быть строго больше 0, то есть $b > 0$.

Объединяя оба условия, получаем систему неравенств:$\begin{cases} b > 0 \\ b \le 1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $b \in (0; 1]$.

Ответ: $b \in (0; 1]$.

г) Найдём все такие значения параметра $b$, при которых в промежутке $(b; b + 4]$ находится ровно 5 целых чисел.

Предположим, что такие значения $b$ существуют. Если в промежутке содержится ровно 5 целых чисел, то они должны быть последовательными. Обозначим их как $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ для некоторого целого числа $n$.

Для того, чтобы все эти 5 чисел находились в промежутке $(b; b + 4]$, необходимо, чтобы каждое из них удовлетворяло неравенству $b < k \le b+4$. В частности, это должно выполняться для наименьшего и наибольшего из этих чисел.

1. Наименьшее число, $n$, должно принадлежать промежутку: $b < n$.
2. Наибольшее число, $n+4$, должно принадлежать промежутку: $n+4 \le b+4$.

Рассмотрим второе неравенство: $n+4 \le b+4$. Вычтем 4 из обеих частей, получим $n \le b$.

Таким образом, мы получили два условия для параметра $b$, которые должны выполняться одновременно:$\begin{cases} b < n \\ b \ge n \end{cases}$

Эти два неравенства противоречат друг другу: $b$ не может быть одновременно строго меньше $n$ и больше либо равно $n$.Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: таких значений $b$ не существует.

4.17. a) Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий 33 целых числа, большее из которых есть 12.

б) Найдите промежуток наибольшей длины, содержащий не более четырёх целых чисел, меньшее из которых есть 18.

а) По условию, отрезок должен содержать 33 целых числа, и наибольшее из этих чисел равно 12. Чтобы отрезок, содержащий эти числа, имел наименьшую длину, целые числа должны идти подряд.

Пусть $n$ — наименьшее из этих 33 целых чисел. Тогда все целые числа на отрезке — это последовательность $n, n+1, \dots, 11, 12$. Количество чисел в такой последовательности равно $12 - n + 1$.

Составим уравнение на основе условия о количестве чисел:

$12 - n + 1 = 33$

$13 - n = 33$

$n = 13 - 33 = -20$

Таким образом, искомые целые числа — это все целые от -20 до 12 включительно. Отрезок наименьшей длины, содержащий все эти числа, — это отрезок, концами которого являются наименьшее и наибольшее из этих чисел, то есть отрезок $[-20, 12]$.

Длина этого отрезка равна разности его концов:

$L = 12 - (-20) = 12 + 20 = 32$

Ответ: Отрезок $[-20, 12]$, его длина равна 32.

б) По условию, промежуток должен содержать не более четырёх целых чисел, и наименьшее из них равно 18. Нам нужно найти промежуток наибольшей возможной длины, удовлетворяющий этим условиям.

Пусть $k$ — количество целых чисел в промежутке. По условию $1 \le k \le 4$ (так как наименьшее число 18 существует, $k$ не может быть 0).

Чтобы длина промежутка была наибольшей, он должен содержать максимально возможное количество целых чисел, то есть $k=4$.

Поскольку наименьшее целое число равно 18, этими четырьмя числами будут 18, 19, 20 и 21.

Итак, искомый промежуток должен содержать числа $\{18, 19, 20, 21\}$, но не должен содержать никакие другие целые числа. Это означает, что он не должен содержать ни число 17, ни число 22.

Пусть промежуток имеет вид $(a, b)$, $[a, b)$, $(a, b]$ или $[a, b]$. Чтобы он содержал 18, 19, 20, 21, но не 17 и 22, его левая граница $a$ должна быть больше 17, а правая граница $b$ должна быть меньше 22. То есть, $17 < a \le 18$ и $21 \le b < 22$.

Длина промежутка равна $L = b - a$. Чтобы максимизировать эту длину, нужно взять наименьшее возможное значение $a$ и наибольшее возможное значение $b$. Наименьшая граница для $a$ — это 17, а наибольшая для $b$ — это 22.

Таким образом, чтобы получить наибольшую длину, мы должны выбрать промежуток, который максимально "растянут" между целыми числами 17 и 22. Таким промежутком является открытый интервал $(17, 22)$.

Этот промежуток содержит целые числа 18, 19, 20, 21 (ровно четыре числа), наименьшее из которых 18. Длина этого промежутка равна $22 - 17 = 5$. Любой другой промежуток, удовлетворяющий условию, будет иметь длину меньше 5.

Ответ: Промежуток $(17, 22)$, его длина равна 5.

4.18. На числовой прямой отмечены точки $A(2a - 6a^2)$ и $B(2a - 3)$.

При каких значениях $a$ точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если:

a) $C(2)$;

б) $C(-1)$?

Точка C с координатой $x_C$ лежит между точками A с координатой $x_A = 2a - 6a^2$ и B с координатой $x_B = 2a - 3$ тогда и только тогда, когда координата точки C находится строго между координатами точек A и B. Это условие можно записать в виде неравенства: $(x_C - x_A)(x_C - x_B) < 0$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) C(2)

В этом случае координата точки C равна 2, то есть $x_C = 2$. Подставим значения координат $x_A$, $x_B$ и $x_C$ в основное неравенство: $(2 - (2a - 6a^2))(2 - (2a - 3)) < 0$

Упростим выражение в каждой скобке: $(2 - 2a + 6a^2)(2 - 2a + 3) < 0$ $(6a^2 - 2a + 2)(5 - 2a) < 0$

Рассмотрим первый множитель: квадратный трехчлен $6a^2 - 2a + 2$. Найдем его дискриминант $D$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 4 - 48 = -44$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($6 > 0$), квадратный трехчлен $6a^2 - 2a + 2$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $a$.

Так как множитель $6a^2 - 2a + 2$ всегда больше нуля, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства: $5 - 2a < 0$

Решим полученное линейное неравенство: $5 < 2a$ $a > \frac{5}{2}$ $a > 2.5$

Таким образом, точка C(2) лежит между A и B при $a \in (2.5, +\infty)$.

Ответ: $a \in (2.5, +\infty)$

б) C(-1)

В этом случае координата точки C равна -1, то есть $x_C = -1$. Подставим значения координат в основное неравенство: $(-1 - (2a - 6a^2))(-1 - (2a - 3)) < 0$

Упростим выражение в каждой скобке: $(-1 - 2a + 6a^2)(-1 - 2a + 3) < 0$ $(6a^2 - 2a - 1)(2 - 2a) < 0$

Вынесем 2 за скобки во втором множителе: $2(6a^2 - 2a - 1)(1 - a) < 0$ Разделим обе части на 2: $(6a^2 - 2a - 1)(1 - a) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни левой части. Найдем корни первого множителя $6a^2 - 2a - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 4 + 24 = 28$. Корни: $a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{6}$. Итак, $a_1 = \frac{1 - \sqrt{7}}{6}$ и $a_2 = \frac{1 + \sqrt{7}}{6}$.

Корень второго множителя $1 - a = 0$ равен $a_3 = 1$.

Отметим найденные корни на числовой прямой и определим знаки выражения $(6a^2 - 2a - 1)(1 - a)$ в каждом из получившихся интервалов. Корни в порядке возрастания: $\frac{1 - \sqrt{7}}{6}$ (приблизительно -0.27), $\frac{1 + \sqrt{7}}{6}$ (приблизительно 0.61), $1$.

• Интервал $(1, +\infty)$: возьмем $a=2$. $(6 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 1)(1-2) = (19)(-1) = -19 < 0$. Интервал подходит.
• Интервал $(\frac{1 + \sqrt{7}}{6}, 1)$: возьмем $a=0.8$. $(6 \cdot 0.64 - 2 \cdot 0.8 - 1)(1-0.8) = (3.84 - 1.6 - 1)(0.2) = (1.24)(0.2) > 0$. Интервал не подходит.
• Интервал $(\frac{1 - \sqrt{7}}{6}, \frac{1 + \sqrt{7}}{6})$: возьмем $a=0$. $(0 - 0 - 1)(1-0) = (-1)(1) = -1 < 0$. Интервал подходит.
• Интервал $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{6})$: возьмем $a=-1$. $(6 \cdot 1 - 2(-1) - 1)(1 - (-1)) = (7)(2) = 14 > 0$. Интервал не подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $a \in (\frac{1 - \sqrt{7}}{6}, \frac{1 + \sqrt{7}}{6}) \cup (1, +\infty)$

4.19. На числовой прямой отмечены точки $A(12a + 6a^2)$ и $B(-2a + 3)$. При каких значениях $a$ точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если:

а) $C(-2)$;

б) $C(a)$?

Для того чтобы точка C лежала между точками A и B, ее координата $x_C$ должна быть строго между координатами точек A ($x_A$) и B ($x_B$). Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $x_A < x_C < x_B$ или $x_B < x_C < x_A$. Оба этих случая можно объединить в одно неравенство:

$(x_C - x_A)(x_C - x_B) < 0$

Координаты точек A и B заданы как $x_A = 12a + 6a^2$ и $x_B = -2a + 3$.

а) C(-2);

В этом случае координата точки C равна $x_C = -2$. Подставим координаты в основное неравенство:

$(-2 - (12a + 6a^2))(-2 - (-2a + 3)) < 0$

Упростим выражение:

$(-6a^2 - 12a - 2)(2a - 5) < 0$

Вынесем общий множитель $-2$ из первой скобки:

$-2(3a^2 + 6a + 1)(2a - 5) < 0$

Разделим обе части неравенства на $-2$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(3a^2 + 6a + 1)(2a - 5) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя.

Корень первого множителя: $2a - 5 = 0 \Rightarrow a = \frac{5}{2}$.

Корни второго множителя $3a^2 + 6a + 1 = 0$ найдем через дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Таким образом, мы имеем три корня: $a_1 = \frac{-3 - \sqrt{6}}{3}$, $a_2 = \frac{-3 + \sqrt{6}}{3}$, $a_3 = \frac{5}{2}$.

Отметим эти корни на числовой оси и определим знаки выражения $(3a^2 + 6a + 1)(2a - 5)$ в полученных интервалах.

Интервалы, на которых выражение положительно, и являются решением:

$a \in \left(\frac{-3 - \sqrt{6}}{3}; \frac{-3 + \sqrt{6}}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$

Ответ: $a \in \left(\frac{-3-\sqrt{6}}{3}; \frac{-3+\sqrt{6}}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$.

б) C(a)?

В этом случае координата точки C равна $x_C = a$. Подставим координаты в основное неравенство:

$(a - (12a + 6a^2))(a - (-2a + 3)) < 0$

Упростим выражение:

$(a - 12a - 6a^2)(a + 2a - 3) < 0$

$(-6a^2 - 11a)(3a - 3) < 0$

Вынесем общие множители:

$-a(6a + 11) \cdot 3(a - 1) < 0$

$-3a(6a + 11)(a - 1) < 0$

Разделим обе части на $-3$ и сменим знак неравенства:

$a(6a + 11)(a - 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения: $a = 0$, $6a + 11 = 0 \Rightarrow a = -\frac{11}{6}$, и $a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$.

Отметим корни $-\frac{11}{6}$, $0$, $1$ на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Интервалы, на которых выражение положительно, и являются решением:

$a \in \left(-\frac{11}{6}; 0\right) \cup (1; +\infty)$

Ответ: $a \in \left(-\frac{11}{6}; 0\right) \cup (1; +\infty)$.