Страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Опишите множество рациональных чисел. Опишите множество иррациональных чисел.

Опишите множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел, обозначаемое символом $Q$, представляет собой совокупность всех чисел, которые можно выразить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где числитель $p$ является целым числом ($p \in Z$), а знаменатель $q$ — натуральным числом ($q \in N$). Формально это записывается так: $Q = \{ \frac{p}{q} \mid p \in Z, q \in N \}$.

Ключевой особенностью рациональных чисел является их десятичное представление. Любое рациональное число может быть записано в виде либо конечной десятичной дроби (например, $\frac{3}{4} = 0.75$), либо бесконечной периодической десятичной дроби (например, $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$ или $\frac{5}{11} = 0.454545... = 0.(45)$).

Множество рациональных чисел включает в себя множество целых чисел ($Z$) и множество натуральных чисел ($N$), так как любое целое число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$. Таким образом, справедливо вложение множеств: $N \subset Z \subset Q$. Операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) над рациональными числами всегда приводят к результату, который также является рациональным числом.

Ответ: Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число ($p \in Z$), а $q$ – натуральное число ($q \in N$). В виде десятичной дроби рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической дробью.

Опишите множество иррациональных чисел

Множество иррациональных чисел — это множество всех действительных чисел, которые не являются рациональными. Иррациональное число невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое, а $q$ — натуральное число. Множество иррациональных чисел обозначается как $I$ или $R \setminus Q$, где $R$ — множество действительных чисел.

Главное отличие иррациональных чисел от рациональных заключается в их десятичном представлении. Десятичная запись любого иррационального числа является бесконечной и непериодической. Это означает, что в последовательности цифр после запятой нет повторяющегося блока (периода).

Примерами иррациональных чисел являются: алгебраические иррациональные числа, такие как корни из чисел, не являющихся точными квадратами ($\sqrt{2} \approx 1.4142...$, $\sqrt{3} \approx 1.7320...$); и трансцендентные числа, которые не являются корнями многочленов с целыми коэффициентами (самые известные — число $\pi \approx 3.1415...$ и число $e \approx 2.7182...$).

Множество действительных чисел ($R$) является объединением множества рациональных ($Q$) и множества иррациональных ($I$) чисел: $R = Q \cup I$. Эти два множества не пересекаются: $Q \cap I = \emptyset$.

Ответ: Иррациональные числа – это действительные числа, которые не являются рациональными, то есть не могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z$ и $q \in N$. В виде десятичной дроби иррациональное число представляется бесконечной непериодической дробью.

2. Приведите несколько примеров иррациональных чисел, отличных от тех, что приведены на с. 29.

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Десятичная запись иррационального числа является бесконечной и непериодической.

Ниже приведено несколько примеров иррациональных чисел, которые, как правило, реже упоминаются в качестве базовых примеров.

1. Корень из числа, не являющегося точным квадратом.
Например, число $\sqrt{10}$. Оно является иррациональным, так как не существует такого целого числа, квадрат которого равен 10. Точно так же иррациональными являются $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{11}$ и т.д. Приблизительное значение: $\sqrt{10} \approx 3.16227766...$

2. Кубический корень из числа, не являющегося точным кубом.
Например, число $\sqrt[3]{5}$. Оно иррационально, потому что не существует целого числа, которое в третьей степени дало бы 5. Аналогично иррациональны $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{12}$, $\sqrt[4]{15}$ и другие корни из чисел, не являющихся точными степенями. Приблизительное значение: $\sqrt[3]{5} \approx 1.70997594...$

3. Золотое сечение ($\phi$).
Это известная математическая константа, которая выражается формулой $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Поскольку $\sqrt{5}$ — иррациональное число, то и результат данных арифметических операций (сложение с рациональным числом 1 и деление на рациональное число 2) также является иррациональным числом. Приблизительное значение: $\phi \approx 1.61803398...$

4. Логарифмы.
Например, десятичный логарифм числа 2, то есть $\lg(2)$ или $\log_{10}2$. Это число иррационально. Если бы оно было рациональным, то $\log_{10}2 = \frac{p}{q}$, откуда $10^{\frac{p}{q}} = 2$, или $10^p = 2^q$. Раскрыв $10^p$ как $(2 \cdot 5)^p = 2^p \cdot 5^p$, мы получили бы $2^p \cdot 5^p = 2^q$. Это равенство возможно только если $p=0$, что привело бы к $1=2^q$, что невозможно для целого $q$. Таким образом, число иррационально. Приблизительное значение: $\lg(2) \approx 0.30102999...$

5. Конструктивно заданное иррациональное число.
Можно создать иррациональное число, записывая цифры по определенному правилу, которое исключает периодичность. Например, число $0.101001000100001...$, в котором количество нулей между единицами последовательно увеличивается. Такая десятичная дробь является бесконечной и непериодической, а значит, представляет иррациональное число.

Ответ: Примерами иррациональных чисел могут служить $\sqrt{10}$, $\sqrt[3]{5}$, золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\lg(2)$, а также число, сконструированное как бесконечная непериодическая дробь, например, $0.1010010001...$

3. Приведите пример иррационального числа, расположенного между числами 1,2 и 1,3.

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

Нам нужно найти такое иррациональное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $1,2 < x < 1,3$.

Рассмотрим два способа нахождения такого числа.

Способ 1: Конструирование числа

Можно сконструировать иррациональное число, которое начинается с $1,2$, а затем следуют цифры, образующие бесконечную непериодическую последовательность. Любое такое число будет больше $1,2$, но меньше $1,3$.

Например, возьмем число $1,2$ и будем дописывать к нему цифры по определенному правилу, которое не приводит к периодичности. Например, будем добавлять последовательно 1, потом один 0, потом 1, потом два 0, потом 1, потом три 0 и так далее.

Получим число: $1,2101001000100001...$

Это число удовлетворяет двум условиям. Во-первых, оно больше $1,2$ и меньше $1,3$. Во-вторых, оно иррациональное, так как его десятичная часть бесконечна и не имеет периода.

Другой пример, сконструированный по похожему принципу: $1,23233233323333...$

Способ 2: Использование квадратных корней

Этот способ основан на том, что квадратный корень из любого положительного числа, не являющегося полным квадратом, есть число иррациональное.

Мы ищем иррациональное число $x$ в интервале $(1,2; 1,3)$. Так как все числа в этом интервале положительны, мы можем возвести границы интервала в квадрат. Это поможет нам найти число, из которого можно извлечь корень.

Возведем в квадрат границы нашего интервала:

$1,2^2 = 1,44$

$1,3^2 = 1,69$

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти любое число $y$ в интервале $(1,44; 1,69)$, которое не является полным квадратом. Тогда число $x = \sqrt{y}$ будет иррациональным и будет лежать в исходном интервале $(1,2; 1,3)$.

Выберем любое удобное число из интервала $(1,44; 1,69)$. Например, $y = 1,5$. Число $1,5$ не является полным квадратом, значит, $\sqrt{1,5}$ — иррациональное число.

Проверим: $1,44 < 1,5 < 1,69$. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt{1,44} < \sqrt{1,5} < \sqrt{1,69}$, что равносильно $1,2 < \sqrt{1,5} < 1,3$.

Таким образом, $\sqrt{1,5}$ является иррациональным числом, расположенным между $1,2$ и $1,3$.

В качестве примера можно взять и другие числа из этого интервала, например: $\sqrt{1,6}$, $\sqrt{1,65}$ и так далее.

Ответ: $\sqrt{1,5}$

4. Даны два рациональных числа. Каким — рациональным или иррациональным — может быть их сумма, разность, произведение, частное, квадрат одного из них?

Сумма
Множество рациональных чисел является замкнутым относительно операции сложения. Это означает, что сумма любых двух рациональных чисел всегда будет рациональным числом.
Доказательство: Пусть даны два рациональных числа $a$ и $b$. По определению, их можно представить в виде дроби $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$, где $p_1, p_2$ — целые числа, а $q_1, q_2$ — натуральные числа.
Их сумма равна:$a + b = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 + p_2q_1}{q_1q_2}$
В числителе дроби $p_1q_2 + p_2q_1$ стоит целое число (так как сумма и произведение целых чисел — это целое число), а в знаменателе $q_1q_2$ — натуральное число (произведение натуральных чисел — натуральное число). Следовательно, результат является отношением целого числа к натуральному, что по определению является рациональным числом. Сумма не может быть иррациональной.
Ответ: рациональным.

Разность
Множество рациональных чисел также замкнуто относительно операции вычитания.
Доказательство: Используя те же обозначения, что и для суммы, найдем разность чисел $a$ и $b$:
$a - b = \frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 - p_2q_1}{q_1q_2}$
Числитель $p_1q_2 - p_2q_1$ является целым числом, а знаменатель $q_1q_2$ — натуральным. Таким образом, разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом и не может быть иррациональной.
Ответ: рациональным.

Произведение
Множество рациональных чисел замкнуто и относительно операции умножения.
Доказательство: Найдем произведение чисел $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$:
$a \cdot b = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}$
Произведение $p_1 p_2$ является целым числом, а произведение $q_1 q_2$ — натуральным. Следовательно, произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
Ответ: рациональным.

Частное
Множество рациональных чисел (за исключением нуля) замкнуто относительно операции деления.
Доказательство: Найдем частное двух рациональных чисел $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$, при условии, что делитель $b$ не равен нулю (а значит, и $p_2 \neq 0$).
$\frac{a}{b} = \frac{p_1/q_1}{p_2/q_2} = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{q_2}{p_2} = \frac{p_1 q_2}{q_1 p_2}$
Числитель $p_1 q_2$ является целым числом. Знаменатель $q_1 p_2$ является целым, не равным нулю, числом. Если $p_2 < 0$, то мы можем умножить числитель и знаменатель на $-1$, чтобы знаменатель стал натуральным. В любом случае, результат представим в виде отношения целого числа к натуральному, то есть является рациональным числом.
Ответ: рациональным.

Квадрат одного из них
Возведение в квадрат является частным случаем умножения, когда число умножается само на себя.
Доказательство: Пусть дано рациональное число $a = \frac{p}{q}$. Его квадрат:
$a^2 = a \cdot a = \frac{p}{q} \cdot \frac{p}{q} = \frac{p^2}{q^2}$
Так как $p$ — целое число, то $p^2$ тоже целое. Так как $q$ — натуральное число, то $q^2$ тоже натуральное. Следовательно, квадрат любого рационального числа всегда является рациональным числом.
Ответ: рациональным.

5. Если $a \neq 0$ — рациональное число, а $\beta$ — иррациональное число, то какое число — рациональное или иррациональное — получится, если над ними выполнить арифметическую операцию (сложение, вычитание, умножение, деление)?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим каждую арифметическую операцию отдельно, используя метод доказательства от противного. Пусть $a$ — рациональное число ($a \in \mathbb{Q}$), такое, что $a \neq 0$, и $\beta$ — иррациональное число ($\beta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$).

Сложение

Рассмотрим сумму $a + \beta$. Предположим, что эта сумма является рациональным числом, то есть $a + \beta = c$, где $c \in \mathbb{Q}$. Тогда мы можем выразить $\beta$ как $\beta = c - a$. Поскольку $c$ и $a$ — рациональные числа, их разность $c - a$ также является рациональным числом (множество рациональных чисел замкнуто относительно вычитания). Таким образом, мы получаем, что $\beta$ — рациональное число. Это противоречит исходному условию, что $\beta$ — иррациональное число. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и сумма $a + \beta$ должна быть иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

Вычитание

Рассмотрим разность. Есть два случая: $a - \beta$ и $\beta - a$.
1. Предположим, что $a - \beta = d$, где $d \in \mathbb{Q}$. Тогда $\beta = a - d$. Так как $a$ и $d$ — рациональные числа, их разность $a - d$ также рациональна. Это означает, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию.
2. Предположим, что $\beta - a = e$, где $e \in \mathbb{Q}$. Тогда $\beta = e + a$. Так как $e$ и $a$ — рациональные числа, их сумма $e + a$ также рациональна. Это снова означает, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию.
В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, результат вычитания всегда будет иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

Умножение

Рассмотрим произведение $a \cdot \beta$. Предположим, что это произведение является рациональным числом, то есть $a \cdot \beta = f$, где $f \in \mathbb{Q}$. Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$. Получим $\beta = \frac{f}{a}$. Так как $f$ — рациональное число, а $a$ — ненулевое рациональное число, их частное $\frac{f}{a}$ также является рациональным числом (множество рациональных чисел замкнуто относительно деления на ненулевое число). Это приводит к выводу, что $\beta$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и произведение $a \cdot \beta$ должно быть иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

Деление

Рассмотрим частное. Есть два случая: $\frac{a}{\beta}$ и $\frac{\beta}{a}$. (Заметим, что $\beta \neq 0$, так как иррациональные числа не могут быть нулем, а $a \neq 0$ дано по условию).
1. Предположим, что $\frac{a}{\beta} = g$, где $g \in \mathbb{Q}$. Поскольку $a \neq 0$, то и $g \neq 0$. Мы можем выразить $\beta$ как $\beta = \frac{a}{g}$. Так как $a$ и $g$ — ненулевые рациональные числа, их частное $\frac{a}{g}$ также рационально. Это противоречит условию, что $\beta$ иррационально.
2. Предположим, что $\frac{\beta}{a} = h$, где $h \in \mathbb{Q}$. Мы можем выразить $\beta$ как $\beta = h \cdot a$. Так как $h$ и $a$ — рациональные числа, их произведение $h \cdot a$ также рационально. Это снова противоречит условию.
В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, результат деления всегда будет иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

6. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — иррациональные числа. Может ли их сумма быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Для того чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример. Однако сначала дадим общее обоснование.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным.

Пусть $\alpha$ — любое иррациональное число. Мы хотим найти другое иррациональное число $\beta$ такое, что их сумма $\alpha + \beta$ будет рациональным числом. Обозначим эту рациональную сумму как $r$.

Итак, мы имеем равенство: $\alpha + \beta = r$.

Выразим из него $\beta$: $\beta = r - \alpha$.

Теперь нужно доказать, что $\beta$ также является иррациональным числом. Будем доказывать от противного. Предположим, что $\beta$ — рациональное число. Поскольку $r$ по нашему условию тоже рациональное число, то их разность $r - \beta$ также должна быть рациональным числом (так как сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел всегда являются рациональными числами, за исключением деления на ноль).

Но $r - \beta = \alpha$. Таким образом, мы получаем, что $\alpha$ — рациональное число. Это прямо противоречит нашему исходному условию, что $\alpha$ — иррациональное число. Следовательно, наше предположение о том, что $\beta$ является рациональным, неверно. Значит, $\beta$ — иррациональное число.

Таким образом, мы показали, что для любого иррационального числа $\alpha$ и любого рационального числа $r$ всегда существует иррациональное число $\beta = r - \alpha$, сумма которого с $\alpha$ будет равна рациональному числу $r$.

Пример:

Возьмем в качестве первого иррационального числа $\alpha = \sqrt{2}$.
Пусть мы хотим, чтобы сумма была равна рациональному числу $5$. То есть $r = 5$.
Тогда второе иррациональное число $\beta$ должно быть равно $r - \alpha = 5 - \sqrt{2}$.
Число $\beta = 5 - \sqrt{2}$ является иррациональным, как мы доказали выше.
Найдем их сумму:$\alpha + \beta = \sqrt{2} + (5 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 5$.
Сумма равна $5$, что является рациональным числом.

Другой, еще более простой пример:
Пусть $\alpha = \sqrt{3}$ (иррациональное число).
Пусть $\beta = -\sqrt{3}$ (также иррациональное число).
Их сумма: $\alpha + \beta = \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$.
Число $0$ является рациональным (его можно представить как $0/1$).

Ответ: Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, сумма иррациональных чисел $\sqrt{2}$ и $5 - \sqrt{2}$ равна рациональному числу $5$.

7. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — иррациональные числа. Может ли их разность быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, разность двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Для ответа на этот вопрос достаточно привести конкретный пример. Нам нужно найти два иррациональных числа $\alpha$ и $\beta$, таких что их разность $\alpha - \beta$ будет рациональным числом.

Пусть в качестве первого иррационального числа $\alpha$ мы возьмем число $\sqrt{3} + 1$.

Докажем, что $\alpha = \sqrt{3} + 1$ является иррациональным числом. Мы будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt{3} + 1$ — это рациональное число. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, а $q \neq 0$.

$\sqrt{3} + 1 = \frac{p}{q}$

Выразим $\sqrt{3}$ из этого уравнения:

$\sqrt{3} = \frac{p}{q} - 1$

$\sqrt{3} = \frac{p - q}{q}$

В правой части равенства стоит число, которое является результатом операций вычитания и деления над целыми числами $p$ и $q$. Следовательно, число $\frac{p-q}{q}$ является рациональным. Однако в левой части стоит число $\sqrt{3}$, которое, как известно, является иррациональным. Мы получили противоречие: иррациональное число не может быть равно рациональному. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным, и число $\alpha = \sqrt{3} + 1$ действительно является иррациональным.

Теперь выберем второе иррациональное число. Пусть $\beta = \sqrt{3}$.

Найдем разность этих двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha - \beta = (\sqrt{3} + 1) - \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 1$

Результат разности равен 1. Число 1 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$.

Таким образом, мы нашли два иррациональных числа ($\sqrt{3} + 1$ и $\sqrt{3}$), разность которых является рациональным числом.

Ответ: Да, может. Например, если взять иррациональные числа $\alpha = \sqrt{3} + 1$ и $\beta = \sqrt{3}$, их разность $\alpha - \beta = 1$ является рациональным числом.

8. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — иррациональные числа. Может ли их произведение быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример.

Возьмем известное иррациональное число — квадратный корень из двух, $\sqrt{2}$. Число является иррациональным, если его нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, и $n \neq 0$. Доказано, что $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Пусть число $\alpha = \sqrt{2}$. Это иррациональное число.

Пусть число $\beta$ также равно $\sqrt{2}$. Это тоже иррациональное число.

Теперь найдем произведение этих двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha \cdot \beta = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$

Результатом умножения является число 2. Число 2 — рациональное, так как его можно представить в виде дроби, например $\frac{2}{1}$.

Таким образом, мы привели пример двух иррациональных чисел, произведение которых является рациональным числом.

Другой пример:

Можно взять и разные иррациональные числа. Например, пусть $\alpha = \sqrt{3}$ (иррациональное) и $\beta = \sqrt{12}$ (иррациональное, так как $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$).

Их произведение:

$\alpha \cdot \beta = \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$

Число 6 также является рациональным.

Ответ: Да, может. Например, произведение иррациональных чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ равно рациональному числу 2.

9. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — иррациональные числа. Может ли их частное быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Может ли их частное быть рациональным числом?

Да, частное двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.
Рассмотрим общее условие. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — иррациональные числа, а их частное — рациональное число $r$ (где $r \neq 0$). Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{\alpha}{\beta} = r$
Отсюда следует, что $\alpha = r \cdot \beta$.
Это означает, что если мы возьмем любое иррациональное число $\beta$ и умножим его на любое ненулевое рациональное число $r$, то получим число $\alpha$. Известно, что произведение иррационального числа на ненулевое рациональное всегда является иррациональным. Таким образом, мы можем сконструировать бесконечно много пар иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$, частное которых будет рациональным.

Если да, то приведите пример.

Возьмем в качестве иррационального числа $\beta$ хорошо известный пример $\beta = \sqrt{2}$.
В качестве рационального числа $r$ выберем, например, $r=2$.
Тогда число $\alpha$ будет равно $\alpha = r \cdot \beta = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Оба числа, $\alpha = 2\sqrt{2}$ и $\beta = \sqrt{2}$, являются иррациональными.
Теперь найдем их частное:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.
Результат, число 2, является рациональным числом, поскольку его можно представить в виде дроби $\frac{2}{1}$.

Другой, более простой пример: можно взять два одинаковых иррациональных числа, например $\alpha = \pi$ и $\beta = \pi$. Их частное будет равно $\frac{\pi}{\pi} = 1$, что является рациональным числом.

Ответ: Да, может. Например, частное иррациональных чисел $\alpha = 2\sqrt{2}$ и $\beta = \sqrt{2}$ равно 2, что является рациональным числом.

3.11. Докажите, что существует такое иррациональное число $a$, что число $c$ является натуральным:

а) $c = a + \frac{1}{a}$;

б) $c = a^2 + a$.

a) Докажем, что такое число существует, приведя конкретный пример. Пусть $c$ является натуральным числом. Рассмотрим уравнение $c = a + \frac{1}{a}$. Наша задача — найти иррациональное число $a$, которое удовлетворяет этому уравнению для какого-либо натурального $c$.

Преобразуем уравнение, умножив обе части на $a$ (подразумевая, что $a \ne 0$):

$ca = a^2 + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 - ca + 1 = 0$

Чтобы у этого уравнения были действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным: $D = (-c)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = c^2 - 4 \ge 0$. Поскольку $c$ — натуральное число, это условие выполняется при $c \ge 2$.

Для того чтобы корни $a$ были иррациональными, дискриминант $D=c^2-4$ не должен быть полным квадратом. Выберем, например, $c=3$. При этом $c$ — натуральное число, и $D = 3^2 - 4 = 5$, что не является полным квадратом.

Подставим $c=3$ в уравнение:

$a^2 - 3a + 1 = 0$

Найдем его корни:

$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Рассмотрим один из корней, например, $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Докажем, что это число иррациональное. Предположим обратное: пусть $a$ — рациональное число. Тогда $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p, q$ — целые числа и $q \ne 0$.

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow 3 + \sqrt{5} = \frac{2p}{q} \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{2p}{q} - 3 = \frac{2p - 3q}{q}$

В правой части этого равенства стоит рациональное число, так как $p$ и $q$ — целые. Однако, $\sqrt{5}$ — иррациональное число. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было неверным. Следовательно, $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ — иррациональное число.

При этом значении $a$ выражение $c = a + \frac{1}{a}$ равно $3$, что является натуральным числом. Таким образом, существование искомого числа доказано.

Ответ: Да, существует. Например, если $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, то $a$ — иррациональное число, а $c = a + \frac{1}{a} = 3$ — натуральное число.

б) Докажем существование такого числа конструктивно. Пусть $c$ — натуральное число. Рассмотрим уравнение $c = a^2 + a$. Запишем его в виде стандартного квадратного уравнения относительно $a$:

$a^2 + a - c = 0$

Корни этого уравнения находятся по формуле:

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-c)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4c}}{2}$

Нам нужно выбрать такое натуральное $c$, чтобы число $a$ было иррациональным. Для этого необходимо, чтобы подкоренное выражение $1+4c$ не являлось полным квадратом.

Выберем самое простое натуральное значение, $c=1$. Тогда $1+4c = 1+4(1) = 5$, что не является полным квадратом. При $c=1$ уравнение принимает вид:

$a^2 + a - 1 = 0$

Его корни:

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Возьмем, к примеру, положительный корень $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Докажем, что он иррационален, рассуждая от противного. Пусть $a$ — рациональное число, т.е. $a = \frac{p}{q}$ для целых $p, q$ ($q \ne 0$).

$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow -1 + \sqrt{5} = \frac{2p}{q} \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{2p}{q} + 1 = \frac{2p + q}{q}$

Справа мы получили рациональное число, а слева стоит иррациональное число $\sqrt{5}$. Это противоречие означает, что исходное предположение о рациональности $a$ неверно. Значит, $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ — иррациональное число.

По построению, это число является корнем уравнения $a^2 + a - 1 = 0$, откуда следует, что $a^2 + a = 1$. Таким образом, для иррационального числа $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ значение $c = a^2 + a$ равно $1$, что является натуральным числом.

Ответ: Да, существует. Например, если $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, то $a$ — иррациональное число, а $c = a^2 + a = 1$ — натуральное число.

3.12. a) Докажите, что для любого иррационального числа $\alpha$ найдётся такое иррациональное число $\beta$, что произведение $\alpha\beta$ — рациональное число.

б) Докажите, что если точка $(x; y)$ лежит на прямой $y = kx + b$, где $k \neq 0, b$ — рациональные числа, то числа $x$ и $y$ или оба рациональные, или оба иррациональные.

а)

Пусть $\alpha$ — произвольное иррациональное число. Нам нужно доказать, что существует иррациональное число $\beta$, такое что произведение $\alpha\beta$ является рациональным числом.

Рассмотрим число $\beta = \frac{1}{\alpha}$. Поскольку $\alpha$ иррационально, то $\alpha \neq 0$, и такое $\beta$ существует.

Сначала докажем, что $\beta$ является иррациональным числом. Будем доказывать методом от противного. Предположим, что $\beta$ — рациональное число. Тогда $\beta$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $p \neq 0, q \neq 0$.

Если $\beta = \frac{p}{q}$, то из этого следует, что $\alpha = \frac{1}{\beta} = \frac{1}{p/q} = \frac{q}{p}$.

Поскольку $q$ и $p$ — целые числа и $p \neq 0$, то их частное $\frac{q}{p}$ является рациональным числом. Следовательно, $\alpha$ — рациональное число. Это противоречит исходному условию, что $\alpha$ — иррациональное число.

Значит, наше предположение о том, что $\beta$ — рациональное, было неверным. Следовательно, $\beta = \frac{1}{\alpha}$ — иррациональное число.

Теперь найдем произведение $\alpha\beta$: $$ \alpha\beta = \alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1 $$

Число 1 является рациональным числом (так как его можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$).

Таким образом, для любого иррационального числа $\alpha$ мы нашли иррациональное число $\beta = \frac{1}{\alpha}$, такое, что их произведение $\alpha\beta=1$ является рациональным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Нам дано, что точка $(x; y)$ лежит на прямой $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — рациональные числа, и $k \neq 0$. Нужно доказать, что числа $x$ и $y$ либо оба рациональны, либо оба иррациональны.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что одно из чисел ($x$ или $y$) рационально, а другое иррационально. Рассмотрим два возможных случая.

1. Пусть $x$ — рациональное число, а $y$ — иррациональное. Поскольку $x$ рационально и $k$ рационально (по условию), их произведение $kx$ также будет рациональным числом (так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции умножения). Сумма рационального числа $kx$ и рационального числа $b$ (по условию) также является рациональным числом (по свойству замкнутости рациональных чисел относительно сложения). Таким образом, $y = kx + b$ должно быть рациональным числом. Это противоречит нашему предположению, что $y$ иррационально. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Пусть $y$ — рациональное число, а $x$ — иррациональное. Выразим $x$ из уравнения прямой. Так как по условию $k \neq 0$, мы можем это сделать: $$ y - b = kx $$ $$ x = \frac{y - b}{k} $$ Поскольку $y$ рационально и $b$ рационально, их разность $y - b$ также является рациональным числом. Частное от деления рационального числа $y - b$ на ненулевое рациональное число $k$ также является рациональным числом. Таким образом, $x$ должно быть рациональным числом. Это противоречит нашему предположению, что $x$ иррационально. Следовательно, и этот случай невозможен.

Мы показали, что оба случая, когда одно из чисел рационально, а другое иррационально, приводят к противоречию. Из этого следует, что возможны только две ситуации: либо числа $x$ и $y$ оба рациональные, либо они оба иррациональные.

Ответ: Утверждение доказано.

3.13. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[\sqrt{2}; \sqrt{3}]$;в) $[\sqrt{5} - 2; 2,236]$;
б) $[\sqrt{3} - \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2}]$;г) $[\sqrt{3} + \sqrt{5}; 3,(9)]$.

а) $[\sqrt{2}; \sqrt{3}]$

Чтобы найти рациональное число на данном отрезке, оценим его концы. Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1,414$ и $\sqrt{3} \approx 1,732$. Таким образом, нам нужно найти рациональное число, которое больше 1,414 и меньше 1,732.

Возьмем, к примеру, рациональное число 1,5. Его можно представить в виде дроби $\frac{3}{2}$.

Проверим, действительно ли 1,5 принадлежит отрезку $[\sqrt{2}; \sqrt{3}]$. Для этого нужно проверить выполнение двойного неравенства $\sqrt{2} \le 1,5 \le \sqrt{3}$. Так как все части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знаков неравенства:

$(\sqrt{2})^2 \le (1,5)^2 \le (\sqrt{3})^2$

$2 \le 2,25 \le 3$

Это неравенство верно, следовательно, число 1,5 действительно находится на отрезке $[\sqrt{2}; \sqrt{3}]$.

Ответ: 1,5.

б) $[\sqrt{3} - \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2}]$

Оценим концы данного отрезка, используя приближенные значения корней: $\sqrt{3} \approx 1,732$ и $\sqrt{2} \approx 1,414$.

Левый конец отрезка: $\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1,732 - 1,414 = 0,318$.

Правый конец отрезка: $\sqrt{3} + \sqrt{2} \approx 1,732 + 1,414 = 3,146$.

Таким образом, отрезок приблизительно равен $[0,318; 3,146]$. Нам нужно найти любое рациональное число в этом промежутке. Очевидно, что целые числа 1, 2 и 3 принадлежат этому отрезку. Целые числа являются рациональными. Выберем, например, число 2.

Убедимся, что 2 действительно принадлежит отрезку $[\sqrt{3} - \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2}]$.

Проверим левое неравенство: $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le 2$. Это равносильно $\sqrt{3} \le 2 + \sqrt{2}$. Возведем в квадрат: $3 \le (2 + \sqrt{2})^2$, что дает $3 \le 4 + 4\sqrt{2} + 2$, или $3 \le 6 + 4\sqrt{2}$. Неравенство верно.

Проверим правое неравенство: $2 \le \sqrt{3} + \sqrt{2}$. Возведем в квадрат: $4 \le (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$, что дает $4 \le 3 + 2\sqrt{6} + 2$, или $4 \le 5 + 2\sqrt{6}$. Неравенство верно.

Следовательно, 2 является рациональным числом на данном отрезке.

Ответ: 2.

в) $[\sqrt{5} - 2; 2,236]$

Оценим левый конец отрезка $\sqrt{5} - 2$. Известно, что $2,2^2=4,84$ и $2,3^2=5,29$, значит $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$. Более точное значение $\sqrt{5} \approx 2,2360679...$

Тогда левый конец отрезка $\sqrt{5} - 2 \approx 2,2360679... - 2 = 0,2360679...$

Правый конец отрезка — это рациональное число $2,236$.

Нам нужно найти рациональное число на отрезке, который приблизительно равен $[0,2360679...; 2,236]$.

Простым рациональным числом в этом интервале является, например, 1. Проверим, что оно подходит.

Проверим неравенство $\sqrt{5} - 2 \le 1 \le 2,236$.

Левая часть: $\sqrt{5} - 2 \le 1$ равносильна $\sqrt{5} \le 3$. Возведя в квадрат обе положительные части, получим $5 \le 9$. Это верно.

Правая часть: $1 \le 2,236$. Это также верно.

Таким образом, 1 является рациональным числом, расположенным на данном отрезке.

Ответ: 1.

г) $[\sqrt{3} + \sqrt{5}; 3,(9)]$

Рассмотрим концы данного отрезка. Правый конец $3,(9)$ — это периодическая десятичная дробь, которая равна 4. Чтобы это показать, положим $x = 3,(9) = 3,999...$ Тогда $10x = 39,999...$ Вычитая $x$ из $10x$, получаем: $10x - x = 39,999... - 3,999...$, что дает $9x = 36$, и отсюда $x=4$.

Таким образом, наш отрезок имеет вид $[\sqrt{3} + \sqrt{5}; 4]$.

Число 4 является рациональным (т.к. $4 = \frac{4}{1}$) и принадлежит отрезку, поскольку является его правым концом. Следовательно, 4 — это одно из чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Для полноты решения проверим, что левый конец отрезка меньше или равен правому: $\sqrt{3} + \sqrt{5} \le 4$.

Возведем обе части в квадрат (они положительны): $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 \le 4^2$.

$3 + 2\sqrt{15} + 5 \le 16$

$8 + 2\sqrt{15} \le 16$

$2\sqrt{15} \le 8$

$\sqrt{15} \le 4$

Возведем в квадрат еще раз: $15 \le 16$. Неравенство верно, значит отрезок корректен и 4 является подходящим ответом.

Ответ: 4.

3.14. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[0; 1]$;

б) $[1,2; 1,22]$;

в) $[1,2; 1,6]$;

г) $[1,2; 1,201]$.

а) Чтобы найти иррациональное число на отрезке $[0; 1]$, мы можем взять известное иррациональное число и преобразовать его так, чтобы оно попало в нужный интервал. Например, возьмем число $\sqrt{2} \approx 1,414$. Если разделить его на 2, получим $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Проверим, что это число находится в заданном отрезке. Мы знаем, что $1 < 2 < 4$, следовательно, $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, то есть $1 < \sqrt{2} < 2$. Разделив все части неравенства на 2, получаем $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Так как $0 \le 0,5$, то $0 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$. Число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является иррациональным, так как оно представляет собой частное от деления иррационального числа на рациональное.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для отрезка $[1,2; 1,22]$ воспользуемся методом подбора. Найдем такое иррациональное число $x$, что $1,2 \le x \le 1,22$. Это неравенство равносильно неравенству $1,2^2 \le x^2 \le 1,22^2$ для положительных $x$. Вычислим квадраты границ отрезка: $1,2^2 = 1,44$ и $1,22^2 = 1,4884$. Теперь нам нужно найти число $y$, такое что $1,44 \le y \le 1,4884$, и при этом $\sqrt{y}$ является иррациональным числом. Это будет верно, если $y$ не является полным квадратом рационального числа. Выберем любое удобное число из интервала $(1,44; 1,4884)$, например, $y = 1,45$. Тогда число $x = \sqrt{1,45}$ будет иррациональным. Так как $1,44 < 1,45 < 1,4884$, то $\sqrt{1,44} < \sqrt{1,45} < \sqrt{1,4884}$, то есть $1,2 < \sqrt{1,45} < 1,22$.
Ответ: $\sqrt{1,45}$

в) Для отрезка $[1,2; 1,6]$ применим тот же подход, что и в предыдущем пункте. Возведем границы отрезка в квадрат: $1,2^2 = 1,44$ и $1,6^2 = 2,56$. Нам нужно найти число $y$ в интервале $[1,44; 2,56]$, такое что $\sqrt{y}$ иррационально. В этот интервал попадает целое число $2$. Число $2$ не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Приблизительное значение $\sqrt{2} \approx 1,414...$. Так как $1,2 < 1,414... < 1,6$, число $\sqrt{2}$ находится на заданном отрезке.
Ответ: $\sqrt{2}$

г) Для отрезка $[1,2; 1,201]$ снова возведем границы в квадрат: $1,2^2 = 1,44$ $1,201^2 = 1,442401$ Нам нужно найти число $y$ в интервале $[1,44; 1,442401]$, такое что $\sqrt{y}$ иррационально. Выберем рациональное число из этого интервала, например, $y = 1,441$. Число $x = \sqrt{1,441}$ является иррациональным, так как $1,441 = \frac{1441}{1000}$, а $1441$ не является полным квадратом. Поскольку $1,44 < 1,441 < 1,442401$, то и $\sqrt{1,44} < \sqrt{1,441} < \sqrt{1,442401}$, что означает $1,2 < \sqrt{1,441} < 1,201$. Таким образом, $\sqrt{1,441}$ — иррациональное число из данного отрезка.
Ответ: $\sqrt{1,441}$

3.15. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на полуинтервале:

a) $ (1,5; \sqrt{3}] $;

б) $ [\sqrt{3}-\sqrt{2}; 0,5) $.

a)

Требуется найти рациональное число $x$, принадлежащее полуинтервалу $(1,5; \sqrt{3}]$. Это означает, что число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству $1,5 < x \le \sqrt{3}$.

Для того чтобы найти такое число, оценим значение $\sqrt{3}$.

Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, следовательно $1 < \sqrt{3} < 2$. Уточним оценку: $1,7^2 = 2,89$, а $1,8^2 = 3,24$. Таким образом, $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$.

Наше неравенство можно записать в виде $1,5 < x \le 1,732...$.

В качестве рационального числа $x$ можно выбрать, например, число $1,7$. Проверим, удовлетворяет ли оно условиям.

1. Проверяем неравенство $1,5 < 1,7$. Это неравенство верно.

2. Проверяем неравенство $1,7 \le \sqrt{3}$. Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат:

$1,7^2 \le (\sqrt{3})^2$

$2,89 \le 3$

Это неравенство также верно.

Следовательно, число $1,7$ является рациональным числом, расположенным на данном полуинтервале.

Ответ: $1,7$.

б)

Требуется найти рациональное число $x$, принадлежащее полуинтервалу $[\sqrt{3} - \sqrt{2}; 0,5)$. Это означает, что число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le x < 0,5$.

Для того чтобы найти такое число, оценим значение левой границы интервала $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Мы уже знаем, что $\sqrt{3} \approx 1,732$.

Найдем приближенное значение $\sqrt{2}$. Известно, что $1,4^2 = 1,96$ и $1,5^2 = 2,25$, следовательно $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Более точное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$.

Теперь можем оценить разность:

$\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1,732 - 1,414 = 0,318$.

Наше неравенство можно записать в виде $0,318... \le x < 0,5$.

В качестве рационального числа $x$ можно выбрать, например, число $0,4$. Проверим, удовлетворяет ли оно условиям.

1. Проверяем неравенство $0,4 < 0,5$. Это неравенство верно.

2. Проверяем неравенство $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le 0,4$. Преобразуем его:

$\sqrt{3} \le 0,4 + \sqrt{2}$

Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{3})^2 \le (0,4 + \sqrt{2})^2$

$3 \le 0,4^2 + 2 \cdot 0,4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

$3 \le 0,16 + 0,8\sqrt{2} + 2$

$3 \le 2,16 + 0,8\sqrt{2}$

$3 - 2,16 \le 0,8\sqrt{2}$

$0,84 \le 0,8\sqrt{2}$

Разделим обе части на $0,8$:

$1,05 \le \sqrt{2}$

Снова возведем в квадрат обе положительные части:

$1,05^2 \le (\sqrt{2})^2$

$1,1025 \le 2$

Последнее неравенство верно, а все преобразования были равносильными, значит и исходное неравенство $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le 0,4$ верно.

Следовательно, число $0,4$ является рациональным числом, расположенным на данном полуинтервале.

Ответ: $0,4$.

3.16. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на полуинтервале:

a) $[0; \sqrt{2});$

б) $(\sqrt{3} - \sqrt{2}; 0,5].$

а) $[0; \sqrt{2})$

Задача состоит в том, чтобы найти иррациональное число $x$, которое удовлетворяет условию $0 \le x < \sqrt{2}$. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Границы заданного полуинтервала: левая граница $0$ (рациональное число) и правая граница $\sqrt{2}$ (иррациональное число, примерно равное $1,414$).
Между любыми двумя различными действительными числами всегда можно найти иррациональное число. Один из самых простых способов — это взять известное иррациональное число и с помощью арифметических операций "поместить" его в нужный интервал.
Рассмотрим число $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
1. Проверка на иррациональность. Это число иррационально, так как является произведением рационального числа $\frac{1}{2}$ и иррационального числа $\sqrt{2}$.
2. Проверка принадлежности интервалу. Мы должны убедиться, что $0 \le \frac{\sqrt{2}}{2} < \sqrt{2}$.
Неравенство $0 \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ очевидно верно, так как $\sqrt{2}$ — положительное число.
Неравенство $\frac{\sqrt{2}}{2} < \sqrt{2}$ также верно, поскольку деление положительного числа $\sqrt{2}$ на $2$ уменьшает его значение.
Следовательно, число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $(\sqrt{3} - \sqrt{2}; 0,5]$

Задача состоит в том, чтобы найти иррациональное число $x$, удовлетворяющее условию $\sqrt{3} - \sqrt{2} < x \le 0,5$.
Для начала оценим числовые значения границ интервала. Используя приближения $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем, что левая граница $\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1.732 - 1.414 = 0.318$. Правая граница равна $0,5$. Таким образом, мы ищем иррациональное число в интервале, который приблизительно равен $(0.318, 0.5]$.
В качестве кандидата рассмотрим число $\frac{\sqrt{2}}{4}$.
1. Проверка на иррациональность. Это число является иррациональным, так как это произведение рационального числа $\frac{1}{4}$ и иррационального $\sqrt{2}$. Приблизительное значение: $\frac{1,414}{4} \approx 0,3535$. Это значение попадает в наш примерный интервал $(0.318, 0.5]$.
2. Проверка принадлежности интервалу. Теперь докажем это строго.
Сначала проверим правое неравенство: $\frac{\sqrt{2}}{4} \le 0,5$. Записав $0,5$ как $\frac{1}{2}$, получим $\frac{\sqrt{2}}{4} \le \frac{1}{2}$. Умножив обе части на $4$, получим $\sqrt{2} \le 2$. Возведя обе положительные части в квадрат, получим $(\sqrt{2})^2 \le 2^2$, то есть $2 \le 4$, что является верным.
Затем проверим левое неравенство: $\sqrt{3} - \sqrt{2} < \frac{\sqrt{2}}{4}$. Перенесем $-\sqrt{2}$ вправо: $\sqrt{3} < \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{2}$, что равносильно $\sqrt{3} < \frac{5\sqrt{2}}{4}$. Поскольку обе части положительны, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 < (\frac{5\sqrt{2}}{4})^2$, что дает $3 < \frac{25 \cdot 2}{16}$, или $3 < \frac{50}{16}$, то есть $3 < 3,125$. Это неравенство также верно.
Таким образом, число $\frac{\sqrt{2}}{4}$ является иррациональным и находится в заданном полуинтервале.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

3.17. Найдите хотя бы одну точку $(x; y)$, имеющую рациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = x(\sqrt{2} + 1) - 2;$

б) $y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} - 2.$

а) $y = x(\sqrt{2} + 1) - 2$

Нам нужно найти точку $(x; y)$, в которой обе координаты $x$ и $y$ являются рациональными числами. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное.

Преобразуем данное уравнение прямой, раскрыв скобки на правой стороне: $y = x\sqrt{2} + x - 2$

Теперь сгруппируем члены уравнения так, чтобы отделить рациональные слагаемые от иррациональных. Для этого перенесем все члены без $\sqrt{2}$ в левую часть: $y - x + 2 = x\sqrt{2}$

Рассмотрим получившееся равенство. В левой части находится выражение $y - x + 2$. Поскольку по условию $x$ и $y$ должны быть рациональными числами, то и результат сложения и вычитания этих чисел ($y - x + 2$) также будет рациональным числом.

В правой части находится выражение $x\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ иррационально. Произведение рационального числа $x$ на иррациональное число $\sqrt{2}$ может быть рациональным только в одном случае: если $x = 0$. Если $x \neq 0$, то произведение $x\sqrt{2}$ будет иррациональным.

Так как рациональное число не может быть равно иррациональному, единственная возможность для выполнения равенства — это когда обе его части равны нулю. Приравняем к нулю правую часть: $x\sqrt{2} = 0$

Отсюда следует, что $x=0$. Это рациональное число. Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в исходное уравнение: $y = 0 \cdot (\sqrt{2} + 1) - 2$ $y = 0 - 2$ $y = -2$

Значение $y = -2$ также является рациональным числом. Таким образом, точка с координатами $(0; -2)$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $(0; -2)$.

б) $y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} - 2$

Аналогично предыдущему пункту, ищем точку $(x; y)$ с рациональными координатами.

Преобразуем уравнение, изолировав член, содержащий иррациональность: $y + 2 = \frac{x}{\sqrt[3]{2}}$

В левой части уравнения стоит выражение $y + 2$. Так как $y$ — рациональное число, то и сумма $y + 2$ является рациональным числом.

В правой части стоит выражение $\frac{x}{\sqrt[3]{2}}$. Число $\sqrt[3]{2}$ является иррациональным. Если $x$ — рациональное число, отличное от нуля, то частное от деления рационального числа на иррациональное $\frac{x}{\sqrt[3]{2}}$ также будет иррациональным числом.

Равенство между рациональным числом (левая часть) и иррациональным числом (правая часть) невозможно. Это равенство может выполняться только в том случае, если обе его части равны нулю.

Приравняем к нулю правую часть, чтобы избавиться от иррациональности: $\frac{x}{\sqrt[3]{2}} = 0$

Это равенство истинно, только если числитель равен нулю, то есть $x = 0$. Это рациональное число.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в исходное уравнение: $y = \frac{0}{\sqrt[3]{2}} - 2$ $y = 0 - 2$ $y = -2$

Значение $y = -2$ также является рациональным числом. Таким образом, точка $(0; -2)$ имеет рациональные координаты и лежит на данной прямой.

Ответ: $(0; -2)$.

3.18. Найдите хотя бы одну точку $(x; y)$, имеющую иррациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = 5x - 2$;

б) $y = \frac{x}{7} + 2$.

Задача состоит в том, чтобы для каждой прямой найти хотя бы одну точку $(x, y)$, у которой одна или обе координаты являются иррациональными числами. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Примерами иррациональных чисел являются $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e$.

Чтобы найти такую точку, мы можем выбрать произвольное иррациональное значение для одной из координат (например, для $x$) и затем вычислить соответствующее значение другой координаты ($y$) из уравнения прямой.

а) $y = 5x - 2$

Выберем в качестве абсциссы $x$ какое-нибудь простое иррациональное число, например, $x = \sqrt{2}$.

Теперь подставим это значение $x$ в уравнение прямой, чтобы найти соответствующую ординату $y$:

$y = 5 \cdot \sqrt{2} - 2 = 5\sqrt{2} - 2$

Так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число, то $5\sqrt{2}$ также иррационально (произведение ненулевого рационального числа на иррациональное). Сумма или разность иррационального и рационального числа ($5\sqrt{2}$ и $-2$) всегда является иррациональным числом. Следовательно, $y = 5\sqrt{2} - 2$ — иррациональное число.

Таким образом, мы нашли точку $(\sqrt{2}; 5\sqrt{2} - 2)$, обе координаты которой иррациональны, и она лежит на данной прямой.

Ответ: $(\sqrt{2}; 5\sqrt{2} - 2)$.

б) $y = \frac{x}{7} + 2$

Поступим аналогично. Выберем иррациональное значение для $x$. Чтобы сделать вычисления немного проще, можно выбрать $x = 7\sqrt{3}$. Это число иррационально.

Подставим это значение $x$ в уравнение прямой для нахождения $y$:

$y = \frac{7\sqrt{3}}{7} + 2 = \sqrt{3} + 2$

Координата $x = 7\sqrt{3}$ является иррациональной. Координата $y = \sqrt{3} + 2$ также является иррациональной, так как это сумма иррационального числа $\sqrt{3}$ и рационального числа $2$.

Следовательно, точка $(7\sqrt{3}; \sqrt{3} + 2)$ имеет иррациональные координаты и удовлетворяет уравнению прямой.

Ответ: $(7\sqrt{3}; \sqrt{3} + 2)$.

3.19. Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами:

а) $ \sqrt{3}, \sqrt{2}, 1; $

б) $ \sqrt{3}, \sqrt{5}, 4? $

Для того чтобы определить, может ли существовать треугольник с заданными длинами сторон, необходимо проверить выполнение неравенства треугольника. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Если обозначить длины сторон как $a$, $b$ и $c$, то должны выполняться три условия: $a + b > c$, $a + c > b$ и $b + c > a$.

На практике достаточно проверить только одно условие: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины самой большой стороны. Если это условие выполняется, то два других выполнятся автоматически.

а) Проверим, могут ли длины сторон треугольника быть равны $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $1$.

Сначала определим, какая из сторон наибольшая. Для этого сравним числа $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $1$. Поскольку $3 > 2 > 1$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{2} > \sqrt{1} = 1$.

Следовательно, наибольшая сторона имеет длину $\sqrt{3}$. Две другие стороны имеют длины $\sqrt{2}$ и $1$.

Теперь проверим, выполняется ли неравенство треугольника: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины большей стороны. Необходимо проверить, верно ли неравенство: $\sqrt{2} + 1 > \sqrt{3}$.

Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корней. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt{2} + 1)^2 > (\sqrt{3})^2$

$(\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 > 3$

$2 + 2\sqrt{2} + 1 > 3$

$3 + 2\sqrt{2} > 3$

Отнимем 3 от обеих частей неравенства, получим: $2\sqrt{2} > 0$.

Это неравенство очевидно верно, так как $\sqrt{2} > 0$. Следовательно, исходное неравенство $\sqrt{2} + 1 > \sqrt{3}$ также верно. Поскольку неравенство треугольника выполняется, такой треугольник может существовать.

Ответ: да, могут.

б) Проверим, могут ли длины сторон треугольника быть равны $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и $4$.

Сначала определим, какая из сторон наибольшая. Для этого сравним числа $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и $4$. Мы знаем, что $4 = \sqrt{16}$. Поскольку $16 > 5 > 3$, то и $\sqrt{16} > \sqrt{5} > \sqrt{3}$, то есть $4 > \sqrt{5} > \sqrt{3}$.

Следовательно, наибольшая сторона имеет длину $4$. Две другие стороны имеют длины $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

Проверим выполнение неравенства треугольника: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины большей стороны. Необходимо проверить, верно ли неравенство: $\sqrt{3} + \sqrt{5} > 4$.

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 > 4^2$

$(\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 > 16$

$3 + 2\sqrt{15} + 5 > 16$

$8 + 2\sqrt{15} > 16$

Отнимем 8 от обеих частей неравенства: $2\sqrt{15} > 8$.

Разделим обе части на 2: $\sqrt{15} > 4$.

Чтобы сравнить $\sqrt{15}$ и $4$, снова возведем обе части в квадрат (или представим $4$ как $\sqrt{16}$): $(\sqrt{15})^2 > 4^2$, что дает $15 > 16$.

Это неравенство неверно, так как $15 < 16$. Следовательно, исходное неравенство $\sqrt{3} + \sqrt{5} > 4$ также неверно. На самом деле, $\sqrt{3} + \sqrt{5} < 4$.

Поскольку неравенство треугольника не выполняется, такой треугольник не может существовать.

Ответ: нет, не могут.