Номер 3.16, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.16. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на полуинтервале:

a) $[0; \sqrt{2});$

б) $(\sqrt{3} - \sqrt{2}; 0,5].$

а) $[0; \sqrt{2})$

Задача состоит в том, чтобы найти иррациональное число $x$, которое удовлетворяет условию $0 \le x < \sqrt{2}$. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Границы заданного полуинтервала: левая граница $0$ (рациональное число) и правая граница $\sqrt{2}$ (иррациональное число, примерно равное $1,414$).
Между любыми двумя различными действительными числами всегда можно найти иррациональное число. Один из самых простых способов — это взять известное иррациональное число и с помощью арифметических операций "поместить" его в нужный интервал.
Рассмотрим число $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
1. Проверка на иррациональность. Это число иррационально, так как является произведением рационального числа $\frac{1}{2}$ и иррационального числа $\sqrt{2}$.
2. Проверка принадлежности интервалу. Мы должны убедиться, что $0 \le \frac{\sqrt{2}}{2} < \sqrt{2}$.
Неравенство $0 \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ очевидно верно, так как $\sqrt{2}$ — положительное число.
Неравенство $\frac{\sqrt{2}}{2} < \sqrt{2}$ также верно, поскольку деление положительного числа $\sqrt{2}$ на $2$ уменьшает его значение.
Следовательно, число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $(\sqrt{3} - \sqrt{2}; 0,5]$

Задача состоит в том, чтобы найти иррациональное число $x$, удовлетворяющее условию $\sqrt{3} - \sqrt{2} < x \le 0,5$.
Для начала оценим числовые значения границ интервала. Используя приближения $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем, что левая граница $\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1.732 - 1.414 = 0.318$. Правая граница равна $0,5$. Таким образом, мы ищем иррациональное число в интервале, который приблизительно равен $(0.318, 0.5]$.
В качестве кандидата рассмотрим число $\frac{\sqrt{2}}{4}$.
1. Проверка на иррациональность. Это число является иррациональным, так как это произведение рационального числа $\frac{1}{4}$ и иррационального $\sqrt{2}$. Приблизительное значение: $\frac{1,414}{4} \approx 0,3535$. Это значение попадает в наш примерный интервал $(0.318, 0.5]$.
2. Проверка принадлежности интервалу. Теперь докажем это строго.
Сначала проверим правое неравенство: $\frac{\sqrt{2}}{4} \le 0,5$. Записав $0,5$ как $\frac{1}{2}$, получим $\frac{\sqrt{2}}{4} \le \frac{1}{2}$. Умножив обе части на $4$, получим $\sqrt{2} \le 2$. Возведя обе положительные части в квадрат, получим $(\sqrt{2})^2 \le 2^2$, то есть $2 \le 4$, что является верным.
Затем проверим левое неравенство: $\sqrt{3} - \sqrt{2} < \frac{\sqrt{2}}{4}$. Перенесем $-\sqrt{2}$ вправо: $\sqrt{3} < \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{2}$, что равносильно $\sqrt{3} < \frac{5\sqrt{2}}{4}$. Поскольку обе части положительны, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 < (\frac{5\sqrt{2}}{4})^2$, что дает $3 < \frac{25 \cdot 2}{16}$, или $3 < \frac{50}{16}$, то есть $3 < 3,125$. Это неравенство также верно.
Таким образом, число $\frac{\sqrt{2}}{4}$ является иррациональным и находится в заданном полуинтервале.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.