Номер 3.11, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.11. Докажите, что существует такое иррациональное число $a$, что число $c$ является натуральным:

а) $c = a + \frac{1}{a}$;

б) $c = a^2 + a$.

a) Докажем, что такое число существует, приведя конкретный пример. Пусть $c$ является натуральным числом. Рассмотрим уравнение $c = a + \frac{1}{a}$. Наша задача — найти иррациональное число $a$, которое удовлетворяет этому уравнению для какого-либо натурального $c$.

Преобразуем уравнение, умножив обе части на $a$ (подразумевая, что $a \ne 0$):

$ca = a^2 + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 - ca + 1 = 0$

Чтобы у этого уравнения были действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным: $D = (-c)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = c^2 - 4 \ge 0$. Поскольку $c$ — натуральное число, это условие выполняется при $c \ge 2$.

Для того чтобы корни $a$ были иррациональными, дискриминант $D=c^2-4$ не должен быть полным квадратом. Выберем, например, $c=3$. При этом $c$ — натуральное число, и $D = 3^2 - 4 = 5$, что не является полным квадратом.

Подставим $c=3$ в уравнение:

$a^2 - 3a + 1 = 0$

Найдем его корни:

$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Рассмотрим один из корней, например, $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Докажем, что это число иррациональное. Предположим обратное: пусть $a$ — рациональное число. Тогда $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p, q$ — целые числа и $q \ne 0$.

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow 3 + \sqrt{5} = \frac{2p}{q} \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{2p}{q} - 3 = \frac{2p - 3q}{q}$

В правой части этого равенства стоит рациональное число, так как $p$ и $q$ — целые. Однако, $\sqrt{5}$ — иррациональное число. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было неверным. Следовательно, $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ — иррациональное число.

При этом значении $a$ выражение $c = a + \frac{1}{a}$ равно $3$, что является натуральным числом. Таким образом, существование искомого числа доказано.

Ответ: Да, существует. Например, если $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, то $a$ — иррациональное число, а $c = a + \frac{1}{a} = 3$ — натуральное число.

б) Докажем существование такого числа конструктивно. Пусть $c$ — натуральное число. Рассмотрим уравнение $c = a^2 + a$. Запишем его в виде стандартного квадратного уравнения относительно $a$:

$a^2 + a - c = 0$

Корни этого уравнения находятся по формуле:

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-c)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4c}}{2}$

Нам нужно выбрать такое натуральное $c$, чтобы число $a$ было иррациональным. Для этого необходимо, чтобы подкоренное выражение $1+4c$ не являлось полным квадратом.

Выберем самое простое натуральное значение, $c=1$. Тогда $1+4c = 1+4(1) = 5$, что не является полным квадратом. При $c=1$ уравнение принимает вид:

$a^2 + a - 1 = 0$

Его корни:

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Возьмем, к примеру, положительный корень $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Докажем, что он иррационален, рассуждая от противного. Пусть $a$ — рациональное число, т.е. $a = \frac{p}{q}$ для целых $p, q$ ($q \ne 0$).

$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow -1 + \sqrt{5} = \frac{2p}{q} \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{2p}{q} + 1 = \frac{2p + q}{q}$

Справа мы получили рациональное число, а слева стоит иррациональное число $\sqrt{5}$. Это противоречие означает, что исходное предположение о рациональности $a$ неверно. Значит, $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ — иррациональное число.

По построению, это число является корнем уравнения $a^2 + a - 1 = 0$, откуда следует, что $a^2 + a = 1$. Таким образом, для иррационального числа $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ значение $c = a^2 + a$ равно $1$, что является натуральным числом.

Ответ: Да, существует. Например, если $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, то $a$ — иррациональное число, а $c = a^2 + a = 1$ — натуральное число.