Номер 3.11, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Часть 2. Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Иррациональные числа - номер 3.11, страница 31.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№3.11 (с. 31)
Условие. №3.11 (с. 31)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 31, номер 3.11, Условие

3.11. Докажите, что существует такое иррациональное число aa, что число cc является натуральным:

а) c=a+1ac = a + \frac{1}{a};

б) c=a2+ac = a^2 + a.

Решение 1. №3.11 (с. 31)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 31, номер 3.11, Решение 1 ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 31, номер 3.11, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №3.11 (с. 31)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 31, номер 3.11, Решение 2
Решение 3. №3.11 (с. 31)

a) Докажем, что такое число существует, приведя конкретный пример. Пусть cc является натуральным числом. Рассмотрим уравнение c=a+1ac = a + \frac{1}{a}. Наша задача — найти иррациональное число aa, которое удовлетворяет этому уравнению для какого-либо натурального cc.

Преобразуем уравнение, умножив обе части на aa (подразумевая, что a0a \ne 0):

ca=a2+1ca = a^2 + 1

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно aa:

a2ca+1=0a^2 - ca + 1 = 0

Чтобы у этого уравнения были действительные корни, его дискриминант DD должен быть неотрицательным: D=(c)2411=c240D = (-c)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = c^2 - 4 \ge 0. Поскольку cc — натуральное число, это условие выполняется при c2c \ge 2.

Для того чтобы корни aa были иррациональными, дискриминант D=c24D=c^2-4 не должен быть полным квадратом. Выберем, например, c=3c=3. При этом cc — натуральное число, и D=324=5D = 3^2 - 4 = 5, что не является полным квадратом.

Подставим c=3c=3 в уравнение:

a23a+1=0a^2 - 3a + 1 = 0

Найдем его корни:

a=(3)±(3)24112=3±942=3±52a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

Рассмотрим один из корней, например, a=3+52a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}. Докажем, что это число иррациональное. Предположим обратное: пусть aa — рациональное число. Тогда 3+52\frac{3 + \sqrt{5}}{2} можно представить в виде дроби pq\frac{p}{q}, где p,qp, q — целые числа и q0q \ne 0.

3+52=pq3+5=2pq5=2pq3=2p3qq\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow 3 + \sqrt{5} = \frac{2p}{q} \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{2p}{q} - 3 = \frac{2p - 3q}{q}

В правой части этого равенства стоит рациональное число, так как pp и qq — целые. Однако, 5\sqrt{5} — иррациональное число. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было неверным. Следовательно, a=3+52a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} — иррациональное число.

При этом значении aa выражение c=a+1ac = a + \frac{1}{a} равно 33, что является натуральным числом. Таким образом, существование искомого числа доказано.

Ответ: Да, существует. Например, если a=3+52a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, то aa — иррациональное число, а c=a+1a=3c = a + \frac{1}{a} = 3 — натуральное число.

б) Докажем существование такого числа конструктивно. Пусть cc — натуральное число. Рассмотрим уравнение c=a2+ac = a^2 + a. Запишем его в виде стандартного квадратного уравнения относительно aa:

a2+ac=0a^2 + a - c = 0

Корни этого уравнения находятся по формуле:

a=1±1241(c)2=1±1+4c2a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-c)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4c}}{2}

Нам нужно выбрать такое натуральное cc, чтобы число aa было иррациональным. Для этого необходимо, чтобы подкоренное выражение 1+4c1+4c не являлось полным квадратом.

Выберем самое простое натуральное значение, c=1c=1. Тогда 1+4c=1+4(1)=51+4c = 1+4(1) = 5, что не является полным квадратом. При c=1c=1 уравнение принимает вид:

a2+a1=0a^2 + a - 1 = 0

Его корни:

a=1±52a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

Возьмем, к примеру, положительный корень a=1+52a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. Докажем, что он иррационален, рассуждая от противного. Пусть aa — рациональное число, т.е. a=pqa = \frac{p}{q} для целых p,qp, q (q0q \ne 0).

1+52=pq1+5=2pq5=2pq+1=2p+qq\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow -1 + \sqrt{5} = \frac{2p}{q} \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{2p}{q} + 1 = \frac{2p + q}{q}

Справа мы получили рациональное число, а слева стоит иррациональное число 5\sqrt{5}. Это противоречие означает, что исходное предположение о рациональности aa неверно. Значит, a=1+52a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} — иррациональное число.

По построению, это число является корнем уравнения a2+a1=0a^2 + a - 1 = 0, откуда следует, что a2+a=1a^2 + a = 1. Таким образом, для иррационального числа a=1+52a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} значение c=a2+ac = a^2 + a равно 11, что является натуральным числом.

Ответ: Да, существует. Например, если a=1+52a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, то aa — иррациональное число, а c=a2+a=1c = a^2 + a = 1 — натуральное число.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.11 расположенного на странице 31 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.11 (с. 31), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться