Номер 3.11, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Иррациональные числа - номер 3.11, страница 31.
№3.11 (с. 31)
Условие. №3.11 (с. 31)

3.11. Докажите, что существует такое иррациональное число , что число является натуральным:
а) ;
б) .
Решение 1. №3.11 (с. 31)


Решение 2. №3.11 (с. 31)

Решение 3. №3.11 (с. 31)
a) Докажем, что такое число существует, приведя конкретный пример. Пусть является натуральным числом. Рассмотрим уравнение . Наша задача — найти иррациональное число , которое удовлетворяет этому уравнению для какого-либо натурального .
Преобразуем уравнение, умножив обе части на (подразумевая, что ):
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно :
Чтобы у этого уравнения были действительные корни, его дискриминант должен быть неотрицательным: . Поскольку — натуральное число, это условие выполняется при .
Для того чтобы корни были иррациональными, дискриминант не должен быть полным квадратом. Выберем, например, . При этом — натуральное число, и , что не является полным квадратом.
Подставим в уравнение:
Найдем его корни:
Рассмотрим один из корней, например, . Докажем, что это число иррациональное. Предположим обратное: пусть — рациональное число. Тогда можно представить в виде дроби , где — целые числа и .
В правой части этого равенства стоит рациональное число, так как и — целые. Однако, — иррациональное число. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было неверным. Следовательно, — иррациональное число.
При этом значении выражение равно , что является натуральным числом. Таким образом, существование искомого числа доказано.
Ответ: Да, существует. Например, если , то — иррациональное число, а — натуральное число.
б) Докажем существование такого числа конструктивно. Пусть — натуральное число. Рассмотрим уравнение . Запишем его в виде стандартного квадратного уравнения относительно :
Корни этого уравнения находятся по формуле:
Нам нужно выбрать такое натуральное , чтобы число было иррациональным. Для этого необходимо, чтобы подкоренное выражение не являлось полным квадратом.
Выберем самое простое натуральное значение, . Тогда , что не является полным квадратом. При уравнение принимает вид:
Его корни:
Возьмем, к примеру, положительный корень . Докажем, что он иррационален, рассуждая от противного. Пусть — рациональное число, т.е. для целых ().
Справа мы получили рациональное число, а слева стоит иррациональное число . Это противоречие означает, что исходное предположение о рациональности неверно. Значит, — иррациональное число.
По построению, это число является корнем уравнения , откуда следует, что . Таким образом, для иррационального числа значение равно , что является натуральным числом.
Ответ: Да, существует. Например, если , то — иррациональное число, а — натуральное число.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.11 расположенного на странице 31 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.11 (с. 31), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.