Номер 3.11, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Иррациональные числа - номер 3.11, страница 31.
№3.11 (с. 31)
Условие. №3.11 (с. 31)

3.11. Докажите, что существует такое иррациональное число $a$, что число $c$ является натуральным:
а) $c = a + \frac{1}{a}$;
б) $c = a^2 + a$.
Решение 1. №3.11 (с. 31)


Решение 2. №3.11 (с. 31)

Решение 3. №3.11 (с. 31)
a) Докажем, что такое число существует, приведя конкретный пример. Пусть $c$ является натуральным числом. Рассмотрим уравнение $c = a + \frac{1}{a}$. Наша задача — найти иррациональное число $a$, которое удовлетворяет этому уравнению для какого-либо натурального $c$.
Преобразуем уравнение, умножив обе части на $a$ (подразумевая, что $a \ne 0$):
$ca = a^2 + 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a$:
$a^2 - ca + 1 = 0$
Чтобы у этого уравнения были действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным: $D = (-c)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = c^2 - 4 \ge 0$. Поскольку $c$ — натуральное число, это условие выполняется при $c \ge 2$.
Для того чтобы корни $a$ были иррациональными, дискриминант $D=c^2-4$ не должен быть полным квадратом. Выберем, например, $c=3$. При этом $c$ — натуральное число, и $D = 3^2 - 4 = 5$, что не является полным квадратом.
Подставим $c=3$ в уравнение:
$a^2 - 3a + 1 = 0$
Найдем его корни:
$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Рассмотрим один из корней, например, $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Докажем, что это число иррациональное. Предположим обратное: пусть $a$ — рациональное число. Тогда $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p, q$ — целые числа и $q \ne 0$.
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow 3 + \sqrt{5} = \frac{2p}{q} \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{2p}{q} - 3 = \frac{2p - 3q}{q}$
В правой части этого равенства стоит рациональное число, так как $p$ и $q$ — целые. Однако, $\sqrt{5}$ — иррациональное число. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было неверным. Следовательно, $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ — иррациональное число.
При этом значении $a$ выражение $c = a + \frac{1}{a}$ равно $3$, что является натуральным числом. Таким образом, существование искомого числа доказано.
Ответ: Да, существует. Например, если $a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, то $a$ — иррациональное число, а $c = a + \frac{1}{a} = 3$ — натуральное число.
б) Докажем существование такого числа конструктивно. Пусть $c$ — натуральное число. Рассмотрим уравнение $c = a^2 + a$. Запишем его в виде стандартного квадратного уравнения относительно $a$:
$a^2 + a - c = 0$
Корни этого уравнения находятся по формуле:
$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-c)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4c}}{2}$
Нам нужно выбрать такое натуральное $c$, чтобы число $a$ было иррациональным. Для этого необходимо, чтобы подкоренное выражение $1+4c$ не являлось полным квадратом.
Выберем самое простое натуральное значение, $c=1$. Тогда $1+4c = 1+4(1) = 5$, что не является полным квадратом. При $c=1$ уравнение принимает вид:
$a^2 + a - 1 = 0$
Его корни:
$a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Возьмем, к примеру, положительный корень $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Докажем, что он иррационален, рассуждая от противного. Пусть $a$ — рациональное число, т.е. $a = \frac{p}{q}$ для целых $p, q$ ($q \ne 0$).
$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{p}{q} \Rightarrow -1 + \sqrt{5} = \frac{2p}{q} \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{2p}{q} + 1 = \frac{2p + q}{q}$
Справа мы получили рациональное число, а слева стоит иррациональное число $\sqrt{5}$. Это противоречие означает, что исходное предположение о рациональности $a$ неверно. Значит, $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ — иррациональное число.
По построению, это число является корнем уравнения $a^2 + a - 1 = 0$, откуда следует, что $a^2 + a = 1$. Таким образом, для иррационального числа $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ значение $c = a^2 + a$ равно $1$, что является натуральным числом.
Ответ: Да, существует. Например, если $a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, то $a$ — иррациональное число, а $c = a^2 + a = 1$ — натуральное число.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.11 расположенного на странице 31 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.11 (с. 31), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.