Номер 3.6, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.6. a) $1 + \sqrt{12} - 2\sqrt{3}$;

б) $(7 - \sqrt{11}) \cdot (7 + \sqrt{11});$

В) $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$;

Г) $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$?

а)

Чтобы решить выражение $1 + \sqrt{12} - 2\sqrt{3}$, сначала нужно упростить $\sqrt{12}$.

Представим число 12 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $12 = 4 \cdot 3$.

Тогда $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

$1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

Слагаемые $2\sqrt{3}$ и $-2\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$1 + 0 = 1$

Ответ: 1

б)

Выражение $(7 - \sqrt{11}) \cdot (7 + \sqrt{11})$ является произведением разности и суммы двух чисел. Для его решения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 7$ и $b = \sqrt{11}$.

Применяем формулу:

$(7 - \sqrt{11})(7 + \sqrt{11}) = 7^2 - (\sqrt{11})^2$

Вычисляем значения квадратов:

$7^2 = 49$

$(\sqrt{11})^2 = 11$

Выполняем вычитание:

$49 - 11 = 38$

Ответ: 38

в)

Рассмотрим выражение $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$.

В этом выражении используются корни из разных чисел ($\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$), которые нельзя упростить. Такие слагаемые не являются подобными, поэтому их нельзя сложить или вычесть.

Таким образом, данное выражение уже находится в своей простейшей форме.

Ответ: $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$

г)

Чтобы упростить выражение $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$, преобразуем подкоренное выражение $3 - 2\sqrt{2}$.

Постараемся представить его в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для этого нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{2}$. Логично предположить, что $a = \sqrt{2}$ и $b = 1$.

Проверим первое условие: $a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$. Условие выполняется.

Следовательно, $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$.

Теперь можно извлечь корень: $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$, значит $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$1 + \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 2$

Ответ: 2