Номер 3.7, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.7. Приведите пример двух различных иррациональных чисел таких, что:

а) их сумма — рациональное число;

б) их разность — рациональное число;

в) их произведение — рациональное число;

г) их частное — рациональное число.

а) их сумма — рациональное число. Чтобы сумма двух иррациональных чисел была рациональной, их иррациональные части должны быть противоположными числами. Возьмем в качестве примера числа $a = 5 + \sqrt{2}$ и $b = 3 - \sqrt{2}$. Оба числа являются иррациональными, так как представляют собой сумму (или разность) рационального и иррационального чисел, и при этом $a \ne b$. Их сумма $a + b = (5 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 5 + 3 = 8$. Число 8 является рациональным.
Ответ: $5 + \sqrt{2}$ и $3 - \sqrt{2}$.

б) их разность — рациональное число. Чтобы разность двух иррациональных чисел была рациональной, их иррациональные части должны быть одинаковыми. Возьмем, например, числа $a = 7 + \sqrt{3}$ и $b = 4 + \sqrt{3}$. Оба числа являются иррациональными и различными. Их разность $a - b = (7 + \sqrt{3}) - (4 + \sqrt{3}) = 7 - 4 = 3$. Число 3 является рациональным.
Ответ: $7 + \sqrt{3}$ и $4 + \sqrt{3}$.

в) их произведение — рациональное число. Для примера возьмем два различных иррациональных числа $a = \sqrt{2}$ и $b = 3\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ иррационально. Число $3\sqrt{2}$ также иррационально, так как является произведением ненулевого рационального числа на иррациональное. Найдем их произведение: $a \cdot b = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 3 \cdot 2 = 6$. Число 6 является рациональным.
Ответ: $\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$.

г) их частное — рациональное число. Для примера возьмем два различных иррациональных числа $a = 10\sqrt{5}$ и $b = 2\sqrt{5}$. Оба числа иррациональны и различны. Найдем их частное: $\frac{a}{b} = \frac{10\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{2} = 5$. Число 5 является рациональным.
Ответ: $10\sqrt{5}$ и $2\sqrt{5}$.