Номер 3.14, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.14. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[0; 1]$;

б) $[1,2; 1,22]$;

в) $[1,2; 1,6]$;

г) $[1,2; 1,201]$.

а) Чтобы найти иррациональное число на отрезке $[0; 1]$, мы можем взять известное иррациональное число и преобразовать его так, чтобы оно попало в нужный интервал. Например, возьмем число $\sqrt{2} \approx 1,414$. Если разделить его на 2, получим $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Проверим, что это число находится в заданном отрезке. Мы знаем, что $1 < 2 < 4$, следовательно, $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, то есть $1 < \sqrt{2} < 2$. Разделив все части неравенства на 2, получаем $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Так как $0 \le 0,5$, то $0 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$. Число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является иррациональным, так как оно представляет собой частное от деления иррационального числа на рациональное.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для отрезка $[1,2; 1,22]$ воспользуемся методом подбора. Найдем такое иррациональное число $x$, что $1,2 \le x \le 1,22$. Это неравенство равносильно неравенству $1,2^2 \le x^2 \le 1,22^2$ для положительных $x$. Вычислим квадраты границ отрезка: $1,2^2 = 1,44$ и $1,22^2 = 1,4884$. Теперь нам нужно найти число $y$, такое что $1,44 \le y \le 1,4884$, и при этом $\sqrt{y}$ является иррациональным числом. Это будет верно, если $y$ не является полным квадратом рационального числа. Выберем любое удобное число из интервала $(1,44; 1,4884)$, например, $y = 1,45$. Тогда число $x = \sqrt{1,45}$ будет иррациональным. Так как $1,44 < 1,45 < 1,4884$, то $\sqrt{1,44} < \sqrt{1,45} < \sqrt{1,4884}$, то есть $1,2 < \sqrt{1,45} < 1,22$.
Ответ: $\sqrt{1,45}$

в) Для отрезка $[1,2; 1,6]$ применим тот же подход, что и в предыдущем пункте. Возведем границы отрезка в квадрат: $1,2^2 = 1,44$ и $1,6^2 = 2,56$. Нам нужно найти число $y$ в интервале $[1,44; 2,56]$, такое что $\sqrt{y}$ иррационально. В этот интервал попадает целое число $2$. Число $2$ не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Приблизительное значение $\sqrt{2} \approx 1,414...$. Так как $1,2 < 1,414... < 1,6$, число $\sqrt{2}$ находится на заданном отрезке.
Ответ: $\sqrt{2}$

г) Для отрезка $[1,2; 1,201]$ снова возведем границы в квадрат: $1,2^2 = 1,44$ $1,201^2 = 1,442401$ Нам нужно найти число $y$ в интервале $[1,44; 1,442401]$, такое что $\sqrt{y}$ иррационально. Выберем рациональное число из этого интервала, например, $y = 1,441$. Число $x = \sqrt{1,441}$ является иррациональным, так как $1,441 = \frac{1441}{1000}$, а $1441$ не является полным квадратом. Поскольку $1,44 < 1,441 < 1,442401$, то и $\sqrt{1,44} < \sqrt{1,441} < \sqrt{1,442401}$, что означает $1,2 < \sqrt{1,441} < 1,201$. Таким образом, $\sqrt{1,441}$ — иррациональное число из данного отрезка.
Ответ: $\sqrt{1,441}$