Номер 4.1, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.1. На числовой прямой отмечены точки $A(-2)$ и $B(17)$. Найдите координаты:

а) середины отрезка $AB$;

б) точки $M$, если $B$ — середина отрезка $AM$;

в) точки $M$, делящей отрезок $AB$ в отношении $AM : MB = 2 : 3$;

г) точки $C$ с числовой прямой — такой, что $AC = 3CB$.

а) середины отрезка AB;

Координата середины отрезка вычисляется как среднее арифметическое координат его концов. Пусть $C$ — середина отрезка $AB$, а её координата — $x_C$. Координаты точек $A$ и $B$ равны $x_A = -2$ и $x_B = 17$.

Формула для нахождения координаты середины отрезка:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Подставляем значения координат точек $A$ и $B$:

$x_C = \frac{-2 + 17}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$

Ответ: 7,5.

б) точки M, если B — середина отрезка AM;

По условию, точка $B(17)$ является серединой отрезка $AM$. Пусть координата точки $M$ равна $x_M$. Координата точки $A$ известна: $x_A = -2$.

Используем формулу для координаты середины отрезка, где $B$ — середина $AM$:

$x_B = \frac{x_A + x_M}{2}$

Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно $x_M$:

$17 = \frac{-2 + x_M}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$34 = -2 + x_M$

Отсюда находим $x_M$:

$x_M = 34 + 2 = 36$

Ответ: 36.

в) точки M, делящей отрезок AB в отношении AM : MB = 2 : 3;

Точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $AM : MB = 2 : 3$. Пусть координата точки $M$ равна $x_M$. Координаты точек $A$ и $B$ равны $x_A = -2$ и $x_B = 17$.

Формула для координаты точки, делящей отрезок с концами в точках с координатами $x_1$ и $x_2$ в отношении $m : n$, имеет вид:

$x_M = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m + n}$

В нашем случае $x_1 = x_A = -2$, $x_2 = x_B = 17$, а отношение $m : n = 2 : 3$.

Подставляем значения:

$x_M = \frac{3 \cdot (-2) + 2 \cdot 17}{2 + 3} = \frac{-6 + 34}{5} = \frac{28}{5} = 5,6$

Ответ: 5,6.

г) точки С числовой прямой — такой, что AC = 3CB.

Нам нужно найти координату $x_C$ точки $C$ такой, что длина отрезка $AC$ в три раза больше длины отрезка $CB$. Длина отрезка между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ на числовой прямой равна $|x_2 - x_1|$.

Условие $AC = 3CB$ можно записать в виде уравнения:

$|x_C - x_A| = 3|x_B - x_C|$

Подставляем координаты $x_A = -2$ и $x_B = 17$:

$|x_C - (-2)| = 3|17 - x_C|$

$|x_C + 2| = 3|17 - x_C|$

Это уравнение может иметь два решения, так как точка $C$ может лежать как между точками $A$ и $B$, так и вне отрезка $AB$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Точка $C$ лежит между $A$ и $B$.

В этом случае $-2 < x_C < 17$. Тогда выражение $x_C+2$ будет положительным, и выражение $17-x_C$ также будет положительным. Модули можно раскрыть без изменения знака:

$x_C + 2 = 3(17 - x_C)$

$x_C + 2 = 51 - 3x_C$

$4x_C = 49$

$x_C = \frac{49}{4} = 12,25$

Значение $12,25$ находится в интервале $(-2, 17)$, следовательно, это действительное решение.

Случай 2: Точка $C$ лежит вне отрезка $AB$.

Из условия $AC = 3CB$ следует, что точка $C$ находится дальше от $A$, чем от $B$. Это возможно, только если $C$ лежит на прямой правее точки $B$. То есть $x_C > 17$.

В этом случае $x_C+2 > 0$, а $17-x_C < 0$, поэтому $|17 - x_C| = -(17 - x_C) = x_C - 17$. Раскрываем модули:

$x_C + 2 = 3(x_C - 17)$

$x_C + 2 = 3x_C - 51$

$2x_C = 53$

$x_C = \frac{53}{2} = 26,5$

Значение $26,5$ больше $17$, что соответствует нашему предположению, следовательно, это второе действительное решение.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие заданному условию.

Ответ: 12,25 и 26,5.