Номер 3.20, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.20. Отметьте на числовой прямой точки $A(1)$ и $B(4)$. С помощью циркуля и линейки постройте точку:

а) $C(\sqrt{7})$;

б) $D(1 - \sqrt{7})$;

в) $E\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$;

г) $G(2 - \sqrt{5})$.

Для выполнения построений сначала подготовим числовую прямую. Начертим прямую, выберем на ней начало отсчета — точку O(0) и единичный отрезок, отметив точку A(1). Используя циркуль, отложим от точки O три раза единичный отрезок и получим точку B(4). Таким образом, у нас есть числовая прямая с заданными точками A(1) и B(4) и определенным единичным отрезком OA.

а) C(v7)

Чтобы построить точку с координатой $\sqrt{7}$, мы сначала построим отрезок такой длины с помощью теоремы Пифагора. Мы можем представить $\sqrt{7}$ как катет прямоугольного треугольника. Заметим, что $7 = 16 - 9 = 4^2 - 3^2$. Значит, мы можем построить прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 и одним катетом 3. Второй катет будет иметь длину $\sqrt{7}$.

Порядок построения:
1. На числовой прямой отметим точку K с координатой 3.
2. В точке K(3) с помощью циркуля и линейки строим прямую, перпендикулярную числовой оси.
3. Измеряем циркулем расстояние от O(0) до B(4), которое равно 4 единичным отрезкам.
4. Устанавливаем острие циркуля в точку O(0) и проводим дугу радиусом 4 так, чтобы она пересекла перпендикуляр, построенный в шаге 2. Назовем точку пересечения M.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKM$. Его гипотенуза $OM = 4$, а катет $OK = 3$. По теореме Пифагора, длина второго катета $KM$ равна $\sqrt{OM^2 - OK^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$.
6. Теперь измеряем циркулем длину отрезка $KM$.
7. Устанавливаем острие циркуля в начало координат O(0) и проводим дугу радиусом $\sqrt{7}$ до пересечения с положительной частью числовой прямой. Эта точка и есть C($\sqrt{7}$).
Ответ: Точка $C(\sqrt{7})$ построена.

б) D(1 - v7)

Для построения точки D с координатой $1 - \sqrt{7}$, мы должны от точки A(1) отложить влево (в отрицательном направлении) отрезок длиной $\sqrt{7}$, который мы уже умеем строить.

Порядок построения:
1. Строим отрезок длиной $\sqrt{7}$, как описано в пункте а).
2. Измеряем циркулем этот отрезок (длину $KM = \sqrt{7}$).
3. Устанавливаем острие циркуля в точку A(1).
4. Проводим дугу радиусом $\sqrt{7}$ так, чтобы она пересекла числовую прямую слева от точки A. Точка пересечения и будет искомой точкой D.
Ответ: Точка $D(1 - \sqrt{7})$ построена.

в) E($\frac{2}{\sqrt{7}}$)

Для построения точки E с координатой $\frac{2}{\sqrt{7}}$, мы воспользуемся построением, основанным на теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса). Мы построим два подобных треугольника, чтобы найти отрезок нужной длины $x$, решив пропорцию $\frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

Порядок построения:
1. Сначала строим отрезок длиной $\sqrt{7}$ (как в пункте а)).
2. Проведем из начала координат O(0) вспомогательный луч $l$, не лежащий на числовой прямой.
3. На этом луче $l$ отложим циркулем от точки O отрезок $OQ$, равный $\sqrt{7}$.
4. На этом же луче $l$ отложим от точки O единичный отрезок $OR$, равный 1.
5. На числовой прямой отметим точку P с координатой 2.
6. Соединим точки Q и P отрезком прямой.
7. Через точку R проведем прямую, параллельную отрезку QP (это стандартное построение с помощью циркуля и линейки).
8. Эта параллельная прямая пересечет числовую прямую в некоторой точке. Обозначим ее E.
9. Из подобия треугольников $\triangle OER$ и $\triangle OPQ$ (по двум углам, так как $RE \parallel PQ$) следует отношение $\frac{OE}{OP} = \frac{OR}{OQ}$.
10. Подставляя известные длины, получаем $\frac{OE}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}}$, откуда $OE = \frac{2}{\sqrt{7}}$. Точка E и есть искомая.
Ответ: Точка $E(\frac{2}{\sqrt{7}})$ построена.

г) G(2 - v5)

Сначала необходимо построить отрезок длиной $\sqrt{5}$. Воспользуемся теоремой Пифагора: $5 = 4 + 1 = 2^2 + 1^2$. Значит, $\sqrt{5}$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1. Затем от точки с координатой 2 отложим влево отрезок длиной $\sqrt{5}$.

Порядок построения:
1. На числовой прямой отметим точку P(2).
2. В точке P(2) восставим перпендикуляр к числовой прямой.
3. На этом перпендикуляре от точки P отложим единичный отрезок (равный OA). Обозначим конец этого отрезка M. Таким образом, $PM=1$.
4. Соединим точки O(0) и M. В прямоугольном треугольнике $\triangle OPM$ катеты $OP=2$ и $PM=1$. Длина гипотенузы $OM$ по теореме Пифагора равна $\sqrt{OP^2 + PM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
5. Теперь измерим циркулем длину отрезка $OM = \sqrt{5}$.
6. Установим острие циркуля в точку P(2).
7. Проводим дугу радиусом $\sqrt{5}$ так, чтобы она пересекла числовую прямую слева от точки P. Точка пересечения и будет искомой точкой G.
Ответ: Точка $G(2 - \sqrt{5})$ построена.