Номер 3.17, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.17. Найдите хотя бы одну точку $(x; y)$, имеющую рациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = x(\sqrt{2} + 1) - 2;$

б) $y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} - 2.$

а) $y = x(\sqrt{2} + 1) - 2$

Нам нужно найти точку $(x; y)$, в которой обе координаты $x$ и $y$ являются рациональными числами. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное.

Преобразуем данное уравнение прямой, раскрыв скобки на правой стороне: $y = x\sqrt{2} + x - 2$

Теперь сгруппируем члены уравнения так, чтобы отделить рациональные слагаемые от иррациональных. Для этого перенесем все члены без $\sqrt{2}$ в левую часть: $y - x + 2 = x\sqrt{2}$

Рассмотрим получившееся равенство. В левой части находится выражение $y - x + 2$. Поскольку по условию $x$ и $y$ должны быть рациональными числами, то и результат сложения и вычитания этих чисел ($y - x + 2$) также будет рациональным числом.

В правой части находится выражение $x\sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ иррационально. Произведение рационального числа $x$ на иррациональное число $\sqrt{2}$ может быть рациональным только в одном случае: если $x = 0$. Если $x \neq 0$, то произведение $x\sqrt{2}$ будет иррациональным.

Так как рациональное число не может быть равно иррациональному, единственная возможность для выполнения равенства — это когда обе его части равны нулю. Приравняем к нулю правую часть: $x\sqrt{2} = 0$

Отсюда следует, что $x=0$. Это рациональное число. Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в исходное уравнение: $y = 0 \cdot (\sqrt{2} + 1) - 2$ $y = 0 - 2$ $y = -2$

Значение $y = -2$ также является рациональным числом. Таким образом, точка с координатами $(0; -2)$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $(0; -2)$.

б) $y = \frac{x}{\sqrt[3]{2}} - 2$

Аналогично предыдущему пункту, ищем точку $(x; y)$ с рациональными координатами.

Преобразуем уравнение, изолировав член, содержащий иррациональность: $y + 2 = \frac{x}{\sqrt[3]{2}}$

В левой части уравнения стоит выражение $y + 2$. Так как $y$ — рациональное число, то и сумма $y + 2$ является рациональным числом.

В правой части стоит выражение $\frac{x}{\sqrt[3]{2}}$. Число $\sqrt[3]{2}$ является иррациональным. Если $x$ — рациональное число, отличное от нуля, то частное от деления рационального числа на иррациональное $\frac{x}{\sqrt[3]{2}}$ также будет иррациональным числом.

Равенство между рациональным числом (левая часть) и иррациональным числом (правая часть) невозможно. Это равенство может выполняться только в том случае, если обе его части равны нулю.

Приравняем к нулю правую часть, чтобы избавиться от иррациональности: $\frac{x}{\sqrt[3]{2}} = 0$

Это равенство истинно, только если числитель равен нулю, то есть $x = 0$. Это рациональное число.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в исходное уравнение: $y = \frac{0}{\sqrt[3]{2}} - 2$ $y = 0 - 2$ $y = -2$

Значение $y = -2$ также является рациональным числом. Таким образом, точка $(0; -2)$ имеет рациональные координаты и лежит на данной прямой.

Ответ: $(0; -2)$.