Номер 3.10, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Часть 2. Глава 1. Действительные числа. Параграф 3. Иррациональные числа - номер 3.10, страница 30.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№3.10 (с. 30)
Условие. №3.10 (с. 30)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 30, номер 3.10, Условие

3.10. Докажите, что найдётся пара иррациональных чисел α\alpha и β\beta таких, что:

а) α2β\alpha^2 - \beta — натуральное число;

б) 2α2+3β2\alpha^2 + 3\beta — целое отрицательное число.

Решение 1. №3.10 (с. 30)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 30, номер 3.10, Решение 1 ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 30, номер 3.10, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №3.10 (с. 30)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 30, номер 3.10, Решение 2
Решение 3. №3.10 (с. 30)

Данную задачу следует понимать как два независимых пункта, так как одновременное выполнение обоих условий для одной пары иррациональных чисел невозможно. Если предположить, что оба условия выполняются одновременно:
{α2β=n, где nN2α2+3β=k, где kZ,k<0 \begin{cases} \alpha^2 - \beta = n, \text{ где } n \in \mathbb{N} \\ 2\alpha^2 + 3\beta = k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k < 0 \end{cases}
Решая эту систему уравнений относительно α2 \alpha^2 и β \beta , получим:
Из первого уравнения выразим β=α2n \beta = \alpha^2 - n . Подставим во второе:
2α2+3(α2n)=k 2\alpha^2 + 3(\alpha^2 - n) = k
5α23n=k    α2=k+3n5 5\alpha^2 - 3n = k \implies \alpha^2 = \frac{k + 3n}{5}
Тогда β=α2n=k+3n5n=k2n5 \beta = \alpha^2 - n = \frac{k + 3n}{5} - n = \frac{k - 2n}{5} .
Поскольку n n и k k — целые числа, то β=k2n5 \beta = \frac{k - 2n}{5} является рациональным числом. Это противоречит условию, что β \beta — иррациональное число.
Следовательно, докажем существование пар для каждого пункта отдельно.

а) Нам нужно доказать, что найдутся иррациональные числа α \alpha и β \beta такие, что α2β \alpha^2 - \beta — натуральное число.
Пусть n n — любое натуральное число, например, n=3 n = 3 .
Выберем иррациональное число α \alpha таким образом, чтобы α2 \alpha^2 также было иррациональным. Например, пусть α=1+2 \alpha = 1 + \sqrt{2} . Число α \alpha иррационально.
Тогда α2=(1+2)2=12+212+(2)2=1+22+2=3+22 \alpha^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} . Это число также иррационально.
Теперь подберем иррациональное число β \beta . Из условия α2β=3 \alpha^2 - \beta = 3 следует:
(3+22)β=3 (3 + 2\sqrt{2}) - \beta = 3
β=(3+22)3=22 \beta = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2} .
Число β=22 \beta = 2\sqrt{2} является иррациональным.
Таким образом, мы нашли пару иррациональных чисел α=1+2 \alpha = 1 + \sqrt{2} и β=22 \beta = 2\sqrt{2} , для которых выполняется условие α2β=3 \alpha^2 - \beta = 3 , где 3 — натуральное число.
Ответ: Существует такая пара, например, α=1+2 \alpha = 1 + \sqrt{2} и β=22 \beta = 2\sqrt{2} .

б) Нам нужно доказать, что найдутся иррациональные числа α \alpha и β \beta такие, что 2α2+3β 2\alpha^2 + 3\beta — целое отрицательное число.
Пусть k k — любое целое отрицательное число, например, k=6 k = -6 .
Снова выберем иррациональное число α \alpha так, чтобы α2 \alpha^2 было иррациональным. Пусть α=1+2 \alpha = 1 + \sqrt{2} . Мы уже знаем, что α \alpha иррационально и α2=3+22 \alpha^2 = 3 + 2\sqrt{2} .
Подставим эти значения в условие 2α2+3β=6 2\alpha^2 + 3\beta = -6 :
2(3+22)+3β=6 2(3 + 2\sqrt{2}) + 3\beta = -6
6+42+3β=6 6 + 4\sqrt{2} + 3\beta = -6
3β=6642 3\beta = -6 - 6 - 4\sqrt{2}
3β=1242 3\beta = -12 - 4\sqrt{2}
β=12423=4432 \beta = \frac{-12 - 4\sqrt{2}}{3} = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} .
Число β=4432 \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} является иррациональным, так как это сумма рационального числа и иррационального.
Таким образом, мы нашли пару иррациональных чисел α=1+2 \alpha = 1 + \sqrt{2} и β=4432 \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} , для которых выполняется условие 2α2+3β=6 2\alpha^2 + 3\beta = -6 , где -6 — целое отрицательное число.
Ответ: Существует такая пара, например, α=1+2 \alpha = 1 + \sqrt{2} и β=4432 \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} .

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.10 расположенного на странице 30 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.10 (с. 30), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться