Номер 3.10, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.10. Докажите, что найдётся пара иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ таких, что:

а) $\alpha^2 - \beta$ — натуральное число;

б) $2\alpha^2 + 3\beta$ — целое отрицательное число.

Данную задачу следует понимать как два независимых пункта, так как одновременное выполнение обоих условий для одной пары иррациональных чисел невозможно. Если предположить, что оба условия выполняются одновременно:
$\begin{cases} \alpha^2 - \beta = n, \text{ где } n \in \mathbb{N} \\ 2\alpha^2 + 3\beta = k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k < 0 \end{cases}$
Решая эту систему уравнений относительно $\alpha^2$ и $\beta$, получим:
Из первого уравнения выразим $\beta = \alpha^2 - n$. Подставим во второе:
$2\alpha^2 + 3(\alpha^2 - n) = k$
$5\alpha^2 - 3n = k \implies \alpha^2 = \frac{k + 3n}{5}$
Тогда $\beta = \alpha^2 - n = \frac{k + 3n}{5} - n = \frac{k - 2n}{5}$.
Поскольку $n$ и $k$ — целые числа, то $\beta = \frac{k - 2n}{5}$ является рациональным числом. Это противоречит условию, что $\beta$ — иррациональное число.
Следовательно, докажем существование пар для каждого пункта отдельно.

а) Нам нужно доказать, что найдутся иррациональные числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что $\alpha^2 - \beta$ — натуральное число.
Пусть $n$ — любое натуральное число, например, $n = 3$.
Выберем иррациональное число $\alpha$ таким образом, чтобы $\alpha^2$ также было иррациональным. Например, пусть $\alpha = 1 + \sqrt{2}$. Число $\alpha$ иррационально.
Тогда $\alpha^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$. Это число также иррационально.
Теперь подберем иррациональное число $\beta$. Из условия $\alpha^2 - \beta = 3$ следует:
$(3 + 2\sqrt{2}) - \beta = 3$
$\beta = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2}$.
Число $\beta = 2\sqrt{2}$ является иррациональным.
Таким образом, мы нашли пару иррациональных чисел $\alpha = 1 + \sqrt{2}$ и $\beta = 2\sqrt{2}$, для которых выполняется условие $\alpha^2 - \beta = 3$, где 3 — натуральное число.
Ответ: Существует такая пара, например, $\alpha = 1 + \sqrt{2}$ и $\beta = 2\sqrt{2}$.

б) Нам нужно доказать, что найдутся иррациональные числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что $2\alpha^2 + 3\beta$ — целое отрицательное число.
Пусть $k$ — любое целое отрицательное число, например, $k = -6$.
Снова выберем иррациональное число $\alpha$ так, чтобы $\alpha^2$ было иррациональным. Пусть $\alpha = 1 + \sqrt{2}$. Мы уже знаем, что $\alpha$ иррационально и $\alpha^2 = 3 + 2\sqrt{2}$.
Подставим эти значения в условие $2\alpha^2 + 3\beta = -6$:
$2(3 + 2\sqrt{2}) + 3\beta = -6$
$6 + 4\sqrt{2} + 3\beta = -6$
$3\beta = -6 - 6 - 4\sqrt{2}$
$3\beta = -12 - 4\sqrt{2}$
$\beta = \frac{-12 - 4\sqrt{2}}{3} = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2}$.
Число $\beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2}$ является иррациональным, так как это сумма рационального числа и иррационального.
Таким образом, мы нашли пару иррациональных чисел $\alpha = 1 + \sqrt{2}$ и $\beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2}$, для которых выполняется условие $2\alpha^2 + 3\beta = -6$, где -6 — целое отрицательное число.
Ответ: Существует такая пара, например, $\alpha = 1 + \sqrt{2}$ и $\beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2}$.