Номер 3.10, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.10. Докажите, что найдётся пара иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ таких, что:

а) $\alpha^2 - \beta$ — натуральное число;

б) $2\alpha^2 + 3\beta$ — целое отрицательное число.

Данную задачу следует понимать как два независимых пункта, так как одновременное выполнение обоих условий для одной пары иррациональных чисел невозможно. Если предположить, что оба условия выполняются одновременно:
$ \begin{cases} \alpha^2 - \beta = n, \text{ где } n \in \mathbb{N} \\ 2\alpha^2 + 3\beta = k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k < 0 \end{cases} $
Решая эту систему уравнений относительно $ \alpha^2 $ и $ \beta $, получим:
Из первого уравнения выразим $ \beta = \alpha^2 - n $. Подставим во второе:
$ 2\alpha^2 + 3(\alpha^2 - n) = k $
$ 5\alpha^2 - 3n = k \implies \alpha^2 = \frac{k + 3n}{5} $
Тогда $ \beta = \alpha^2 - n = \frac{k + 3n}{5} - n = \frac{k - 2n}{5} $.
Поскольку $ n $ и $ k $ — целые числа, то $ \beta = \frac{k - 2n}{5} $ является рациональным числом. Это противоречит условию, что $ \beta $ — иррациональное число.
Следовательно, докажем существование пар для каждого пункта отдельно.

а) Нам нужно доказать, что найдутся иррациональные числа $ \alpha $ и $ \beta $ такие, что $ \alpha^2 - \beta $ — натуральное число.
Пусть $ n $ — любое натуральное число, например, $ n = 3 $.
Выберем иррациональное число $ \alpha $ таким образом, чтобы $ \alpha^2 $ также было иррациональным. Например, пусть $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $. Число $ \alpha $ иррационально.
Тогда $ \alpha^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} $. Это число также иррационально.
Теперь подберем иррациональное число $ \beta $. Из условия $ \alpha^2 - \beta = 3 $ следует:
$ (3 + 2\sqrt{2}) - \beta = 3 $
$ \beta = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2} $.
Число $ \beta = 2\sqrt{2} $ является иррациональным.
Таким образом, мы нашли пару иррациональных чисел $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $ и $ \beta = 2\sqrt{2} $, для которых выполняется условие $ \alpha^2 - \beta = 3 $, где 3 — натуральное число.
Ответ: Существует такая пара, например, $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $ и $ \beta = 2\sqrt{2} $.

б) Нам нужно доказать, что найдутся иррациональные числа $ \alpha $ и $ \beta $ такие, что $ 2\alpha^2 + 3\beta $ — целое отрицательное число.
Пусть $ k $ — любое целое отрицательное число, например, $ k = -6 $.
Снова выберем иррациональное число $ \alpha $ так, чтобы $ \alpha^2 $ было иррациональным. Пусть $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $. Мы уже знаем, что $ \alpha $ иррационально и $ \alpha^2 = 3 + 2\sqrt{2} $.
Подставим эти значения в условие $ 2\alpha^2 + 3\beta = -6 $:
$ 2(3 + 2\sqrt{2}) + 3\beta = -6 $
$ 6 + 4\sqrt{2} + 3\beta = -6 $
$ 3\beta = -6 - 6 - 4\sqrt{2} $
$ 3\beta = -12 - 4\sqrt{2} $
$ \beta = \frac{-12 - 4\sqrt{2}}{3} = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} $.
Число $ \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} $ является иррациональным, так как это сумма рационального числа и иррационального.
Таким образом, мы нашли пару иррациональных чисел $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $ и $ \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} $, для которых выполняется условие $ 2\alpha^2 + 3\beta = -6 $, где -6 — целое отрицательное число.
Ответ: Существует такая пара, например, $ \alpha = 1 + \sqrt{2} $ и $ \beta = -4 - \frac{4}{3}\sqrt{2} $.