Номер 3.13, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.13. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на отрезке:

а) $[\sqrt{2}; \sqrt{3}]$;в) $[\sqrt{5} - 2; 2,236]$;
б) $[\sqrt{3} - \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2}]$;г) $[\sqrt{3} + \sqrt{5}; 3,(9)]$.

а) $[\sqrt{2}; \sqrt{3}]$

Чтобы найти рациональное число на данном отрезке, оценим его концы. Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1,414$ и $\sqrt{3} \approx 1,732$. Таким образом, нам нужно найти рациональное число, которое больше 1,414 и меньше 1,732.

Возьмем, к примеру, рациональное число 1,5. Его можно представить в виде дроби $\frac{3}{2}$.

Проверим, действительно ли 1,5 принадлежит отрезку $[\sqrt{2}; \sqrt{3}]$. Для этого нужно проверить выполнение двойного неравенства $\sqrt{2} \le 1,5 \le \sqrt{3}$. Так как все части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знаков неравенства:

$(\sqrt{2})^2 \le (1,5)^2 \le (\sqrt{3})^2$

$2 \le 2,25 \le 3$

Это неравенство верно, следовательно, число 1,5 действительно находится на отрезке $[\sqrt{2}; \sqrt{3}]$.

Ответ: 1,5.

б) $[\sqrt{3} - \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2}]$

Оценим концы данного отрезка, используя приближенные значения корней: $\sqrt{3} \approx 1,732$ и $\sqrt{2} \approx 1,414$.

Левый конец отрезка: $\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1,732 - 1,414 = 0,318$.

Правый конец отрезка: $\sqrt{3} + \sqrt{2} \approx 1,732 + 1,414 = 3,146$.

Таким образом, отрезок приблизительно равен $[0,318; 3,146]$. Нам нужно найти любое рациональное число в этом промежутке. Очевидно, что целые числа 1, 2 и 3 принадлежат этому отрезку. Целые числа являются рациональными. Выберем, например, число 2.

Убедимся, что 2 действительно принадлежит отрезку $[\sqrt{3} - \sqrt{2}; \sqrt{3} + \sqrt{2}]$.

Проверим левое неравенство: $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le 2$. Это равносильно $\sqrt{3} \le 2 + \sqrt{2}$. Возведем в квадрат: $3 \le (2 + \sqrt{2})^2$, что дает $3 \le 4 + 4\sqrt{2} + 2$, или $3 \le 6 + 4\sqrt{2}$. Неравенство верно.

Проверим правое неравенство: $2 \le \sqrt{3} + \sqrt{2}$. Возведем в квадрат: $4 \le (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$, что дает $4 \le 3 + 2\sqrt{6} + 2$, или $4 \le 5 + 2\sqrt{6}$. Неравенство верно.

Следовательно, 2 является рациональным числом на данном отрезке.

Ответ: 2.

в) $[\sqrt{5} - 2; 2,236]$

Оценим левый конец отрезка $\sqrt{5} - 2$. Известно, что $2,2^2=4,84$ и $2,3^2=5,29$, значит $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$. Более точное значение $\sqrt{5} \approx 2,2360679...$

Тогда левый конец отрезка $\sqrt{5} - 2 \approx 2,2360679... - 2 = 0,2360679...$

Правый конец отрезка — это рациональное число $2,236$.

Нам нужно найти рациональное число на отрезке, который приблизительно равен $[0,2360679...; 2,236]$.

Простым рациональным числом в этом интервале является, например, 1. Проверим, что оно подходит.

Проверим неравенство $\sqrt{5} - 2 \le 1 \le 2,236$.

Левая часть: $\sqrt{5} - 2 \le 1$ равносильна $\sqrt{5} \le 3$. Возведя в квадрат обе положительные части, получим $5 \le 9$. Это верно.

Правая часть: $1 \le 2,236$. Это также верно.

Таким образом, 1 является рациональным числом, расположенным на данном отрезке.

Ответ: 1.

г) $[\sqrt{3} + \sqrt{5}; 3,(9)]$

Рассмотрим концы данного отрезка. Правый конец $3,(9)$ — это периодическая десятичная дробь, которая равна 4. Чтобы это показать, положим $x = 3,(9) = 3,999...$ Тогда $10x = 39,999...$ Вычитая $x$ из $10x$, получаем: $10x - x = 39,999... - 3,999...$, что дает $9x = 36$, и отсюда $x=4$.

Таким образом, наш отрезок имеет вид $[\sqrt{3} + \sqrt{5}; 4]$.

Число 4 является рациональным (т.к. $4 = \frac{4}{1}$) и принадлежит отрезку, поскольку является его правым концом. Следовательно, 4 — это одно из чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Для полноты решения проверим, что левый конец отрезка меньше или равен правому: $\sqrt{3} + \sqrt{5} \le 4$.

Возведем обе части в квадрат (они положительны): $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 \le 4^2$.

$3 + 2\sqrt{15} + 5 \le 16$

$8 + 2\sqrt{15} \le 16$

$2\sqrt{15} \le 8$

$\sqrt{15} \le 4$

Возведем в квадрат еще раз: $15 \le 16$. Неравенство верно, значит отрезок корректен и 4 является подходящим ответом.

Ответ: 4.