Номер 3.15, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.15. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на полуинтервале:

a) $ (1,5; \sqrt{3}] $;

б) $ [\sqrt{3}-\sqrt{2}; 0,5) $.

a)

Требуется найти рациональное число $x$, принадлежащее полуинтервалу $(1,5; \sqrt{3}]$. Это означает, что число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству $1,5 < x \le \sqrt{3}$.

Для того чтобы найти такое число, оценим значение $\sqrt{3}$.

Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, следовательно $1 < \sqrt{3} < 2$. Уточним оценку: $1,7^2 = 2,89$, а $1,8^2 = 3,24$. Таким образом, $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$.

Наше неравенство можно записать в виде $1,5 < x \le 1,732...$.

В качестве рационального числа $x$ можно выбрать, например, число $1,7$. Проверим, удовлетворяет ли оно условиям.

1. Проверяем неравенство $1,5 < 1,7$. Это неравенство верно.

2. Проверяем неравенство $1,7 \le \sqrt{3}$. Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат:

$1,7^2 \le (\sqrt{3})^2$

$2,89 \le 3$

Это неравенство также верно.

Следовательно, число $1,7$ является рациональным числом, расположенным на данном полуинтервале.

Ответ: $1,7$.

б)

Требуется найти рациональное число $x$, принадлежащее полуинтервалу $[\sqrt{3} - \sqrt{2}; 0,5)$. Это означает, что число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le x < 0,5$.

Для того чтобы найти такое число, оценим значение левой границы интервала $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Мы уже знаем, что $\sqrt{3} \approx 1,732$.

Найдем приближенное значение $\sqrt{2}$. Известно, что $1,4^2 = 1,96$ и $1,5^2 = 2,25$, следовательно $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Более точное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$.

Теперь можем оценить разность:

$\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 1,732 - 1,414 = 0,318$.

Наше неравенство можно записать в виде $0,318... \le x < 0,5$.

В качестве рационального числа $x$ можно выбрать, например, число $0,4$. Проверим, удовлетворяет ли оно условиям.

1. Проверяем неравенство $0,4 < 0,5$. Это неравенство верно.

2. Проверяем неравенство $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le 0,4$. Преобразуем его:

$\sqrt{3} \le 0,4 + \sqrt{2}$

Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{3})^2 \le (0,4 + \sqrt{2})^2$

$3 \le 0,4^2 + 2 \cdot 0,4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

$3 \le 0,16 + 0,8\sqrt{2} + 2$

$3 \le 2,16 + 0,8\sqrt{2}$

$3 - 2,16 \le 0,8\sqrt{2}$

$0,84 \le 0,8\sqrt{2}$

Разделим обе части на $0,8$:

$1,05 \le \sqrt{2}$

Снова возведем в квадрат обе положительные части:

$1,05^2 \le (\sqrt{2})^2$

$1,1025 \le 2$

Последнее неравенство верно, а все преобразования были равносильными, значит и исходное неравенство $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le 0,4$ верно.

Следовательно, число $0,4$ является рациональным числом, расположенным на данном полуинтервале.

Ответ: $0,4$.