Номер 4.2, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.2. Решите уравнение, определите наибольший и наименьший его корень и расстояние между ними:

a) $ (x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) = 0; $

б) $ (x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) = (31x - 37)(41x - 49). $

а)

Дано уравнение $(x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения.

1) $(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.
2) $31x - 37 = 0 \implies 31x = 37 \implies x_2 = \frac{37}{31}$.
3) $41x - 49 = 0 \implies 41x = 49 \implies x_3 = \frac{49}{41}$.

Корни уравнения: $1, \frac{37}{31}, \frac{49}{41}$.
Теперь определим наибольший и наименьший из них.
$x_1 = 1$
$x_2 = \frac{37}{31} = 1\frac{6}{31}$
$x_3 = \frac{49}{41} = 1\frac{8}{41}$
Наименьший корень очевидно равен $1$. Чтобы сравнить $\frac{37}{31}$ и $\frac{49}{41}$, сравним их дробные части $\frac{6}{31}$ и $\frac{8}{41}$. Приводя к общему знаменателю или используя перекрестное умножение ($6 \times 41 = 246$, а $8 \times 31 = 248$), получаем, что $\frac{8}{41} > \frac{6}{31}$.

Следовательно, наименьший корень $x_{min} = 1$, а наибольший корень $x_{max} = \frac{49}{41}$.

Расстояние между наибольшим и наименьшим корнями равно их разности:
$x_{max} - x_{min} = \frac{49}{41} - 1 = \frac{49}{41} - \frac{41}{41} = \frac{8}{41}$.

Ответ: Корни уравнения: $1$, $\frac{37}{31}$, $\frac{49}{41}$. Наименьший корень — $1$, наибольший — $\frac{49}{41}$. Расстояние между ними — $\frac{8}{41}$.

б)

Дано уравнение $(x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) = (31x - 37)(41x - 49)$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения и вынесем общий множитель $(31x - 37)(41x - 49)$ за скобки:
$(x - 1)^2(31x - 37)(41x - 49) - (31x - 37)(41x - 49) = 0$
$(31x - 37)(41x - 49) \left[ (x - 1)^2 - 1 \right] = 0$

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим три случая:

1) $31x - 37 = 0 \implies x_1 = \frac{37}{31}$.
2) $41x - 49 = 0 \implies x_2 = \frac{49}{41}$.
3) $(x - 1)^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 1$. Из этого следует, что $x - 1 = 1$ или $x - 1 = -1$.
$x_3 = 1 + 1 = 2$
$x_4 = -1 + 1 = 0$

Корни уравнения: $0$, $2$, $\frac{37}{31}$ и $\frac{49}{41}$.

Сравним корни, чтобы найти наименьший и наибольший: $0, 2, \frac{37}{31} \approx 1.194, \frac{49}{41} \approx 1.195$.
Расположив их в порядке возрастания, получаем: $0 < \frac{37}{31} < \frac{49}{41} < 2$.

Наименьший корень $x_{min} = 0$, наибольший корень $x_{max} = 2$.
Расстояние между ними равно $x_{max} - x_{min} = 2 - 0 = 2$.

Ответ: Корни уравнения: $0$, $\frac{37}{31}$, $\frac{49}{41}$, $2$. Наименьший корень — $0$, наибольший — $2$. Расстояние между ними — $2$.