Номер 4.3, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.3. Укажите два рациональных и два иррациональных числа, принадлежащих данному промежутку:

а) $(0,2; $1/\\sqrt{2}$);

б) $($1/\\sqrt{3}$; $1/\\sqrt{2}$);

в) $(0,21; 51);$

г) $(0,21; 0,22)$.

а) Задан промежуток $(0,2; \frac{1}{\sqrt{2}})$.

Сначала определим границы промежутка в виде десятичных дробей. Левая граница — $0,2$. Правая граница — $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1,4142...}{2} \approx 0,7071...$. Таким образом, мы ищем числа в интервале $(0,2; 0,7071...)$.

Рациональные числа: это числа, которые можно представить в виде конечной или периодической десятичной дроби. Выберем два таких числа, которые больше $0,2$ и меньше $0,7071...$. Например, $0,3$ и $0,5$. Оба числа являются конечными десятичными дробями ($0,3 = \frac{3}{10}$, $0,5 = \frac{1}{2}$) и удовлетворяют условию $0,2 < 0,3 < 0,7071...$ и $0,2 < 0,5 < 0,7071...$.

Иррациональные числа: это числа, представляемые в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Найдем такие числа в заданном интервале. Например, можно взять квадратный корень из числа, не являющегося полным квадратом. Рассмотрим число $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577...$. Это число иррациональное и $0,2 < 0,577... < 0,7071...$. Рассмотрим число $\frac{1}{\sqrt{5}} \approx \frac{1}{2,236...} \approx 0,447...$. Это число также иррациональное и $0,2 < 0,447... < 0,7071...$.

Ответ: рациональные числа — $0,3$ и $0,5$; иррациональные числа — $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

б) Задан промежуток $(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{2}})$.

Определим границы промежутка в виде десятичных дробей. Левая граница: $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{1}{1,732...} \approx 0,577...$. Правая граница: $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx \frac{1}{1,414...} \approx 0,707...$. Таким образом, мы ищем числа в интервале $(0,577...; 0,707...)$.

Рациональные числа: выберем две конечные десятичные дроби из этого интервала. Например, $0,6$ и $0,65$. Оба числа рациональны ($0,6 = \frac{6}{10}$, $0,65 = \frac{65}{100}$) и удовлетворяют условию $0,577... < 0,6 < 0,707...$ и $0,577... < 0,65 < 0,707...$.

Иррациональные числа: найдем иррациональные числа в этом интервале. Мы можем найти число $x$, такое что $(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 < x < (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$, и тогда $\sqrt{x}$ будет принадлежать нашему интервалу (если $x$ не является полным квадратом). То есть, $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$, или $0,333... < x < 0,5$. Выберем $x_1 = 0,4$ и $x_2 = 0,45$. Числа $\sqrt{0,4}$ и $\sqrt{0,45}$ — иррациональные. $\sqrt{0,4} \approx 0,632$ и $\sqrt{0,45} \approx 0,671$. Оба значения лежат в интервале $(0,577...; 0,707...)$.

Ответ: рациональные числа — $0,6$ и $0,65$; иррациональные числа — $\sqrt{0,4}$ и $\sqrt{0,45}$.

в) Задан промежуток $(0,21; 51)$.

Рациональные числа: в этом широком интервале легко найти рациональные числа. Например, можно взять любые целые числа, которые больше $0,21$ и меньше $51$. Выберем $1$ и $2$. Оба числа целые, а значит, и рациональные, и принадлежат данному промежутку.

Иррациональные числа: также можно выбрать известные иррациональные числа. Например, число $\sqrt{2} \approx 1,414...$ и число $\pi \approx 3,141...$. Оба числа иррациональны и удовлетворяют условию $0,21 < \sqrt{2} < 51$ и $0,21 < \pi < 51$.

Ответ: рациональные числа — $1$ и $2$; иррациональные числа — $\sqrt{2}$ и $\pi$.

г) Задан промежуток $(0,21; 0,22)$.

Рациональные числа: мы ищем числа между $0,21$ и $0,22$. Можно просто добавить знаки после запятой. Например, $0,211$ и $0,215$. Оба числа являются конечными десятичными дробями ($0,211 = \frac{211}{1000}$, $0,215 = \frac{215}{1000}$), то есть рациональны, и принадлежат заданному промежутку, так как $0,21 < 0,211 < 0,22$ и $0,21 < 0,215 < 0,22$.

Иррациональные числа: для нахождения иррациональных чисел можно сконструировать бесконечные непериодические дроби, которые начинаются с $0,21...$. Например, число $0,21010010001...$. Оно больше $0,21$ и меньше $0,22$, и является иррациональным, так как последовательность цифр непериодическая. Другой пример — число $0,21232332333...$. Оно также иррациональное и лежит в заданном промежутке.

Ответ: рациональные числа — $0,211$ и $0,215$; иррациональные числа — $0,21010010001...$ и $0,21232332333...$.