Номер 4.4, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4.4. Существует ли геометрическая прогрессия, все члены которой различны и расположены на отрезке:

а) $[1; 2];$

б) $[1; 1,2]?$

Если существует, то приведите соответствующий пример, если не существует, то докажите это.

Для решения задачи проанализируем свойства геометрической прогрессии, которая удовлетворяла бы заданным условиям. Пусть $\{b_n\}$ — искомая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

1. Условие, что все члены прогрессии различны, означает, что знаменатель $q$ не может быть равен 1. Если $q=1$, все члены равны $b_1$. Также $q \neq 0$ (иначе все члены, кроме первого, равны нулю) и $q \neq -1$ (иначе члены чередуются между $b_1$ и $-b_1$).

2. Условие, что все члены прогрессии расположены на отрезках $[1; 2]$ или $[1; 1,2]$, означает, что все $b_n$ положительны. Если первый член $b_1$ положителен, то для того, чтобы все последующие члены $b_n = b_1 q^{n-1}$ были положительными, знаменатель $q$ также должен быть положительным ($q > 0$).

Таким образом, для такой прогрессии должны выполняться условия $b_1 > 0$ и $q > 0$, причем $q \neq 1$. Это оставляет два возможных варианта для знаменателя $q$: $q > 1$ (возрастающая прогрессия) или $0 < q < 1$ (убывающая прогрессия).

Рассмотрим оба пункта задачи с учетом этих свойств.

Предположим, что такая прогрессия существует. Все её члены $b_n$ должны удовлетворять неравенству $1 \le b_n \le 2$.

Случай 1: $q > 1$.

В этом случае геометрическая прогрессия является строго возрастающей: $b_1 < b_2 < b_3 < \dots$. Из условия $1 \le b_n$ следует, что $b_1 \ge 1$. Однако последовательность $b_n = b_1 q^{n-1}$ с $b_1 \ge 1$ и $q > 1$ является неограниченной сверху, то есть её предел $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$. Это означает, что для любого числа (в частности, для 2) найдется такой член прогрессии $b_k$, что $b_k > 2$. Это противоречит условию, что все члены лежат на отрезке $[1; 2]$.

Случай 2: $0 < q < 1$.

В этом случае геометрическая прогрессия является строго убывающей: $b_1 > b_2 > b_3 > \dots$. Из условия $b_n \le 2$ следует, что $b_1 \le 2$. Предел такой последовательности при $n \to \infty$ равен нулю: $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} b_1 q^{n-1} = 0$. Это означает, что для любого положительного числа (в частности, для 1) найдется такой член прогрессии $b_k$, что $b_k < 1$. Это противоречит условию, что все члены должны быть не меньше 1.

Поскольку оба возможных случая для $q$ приводят к противоречию, делаем вывод, что геометрической прогрессии с заданными свойствами не существует.

Ответ: Не существует.

Рассуждения для этого пункта полностью аналогичны предыдущему. Все члены прогрессии $b_n$ должны удовлетворять неравенству $1 \le b_n \le 1,2$.

Случай 1: $q > 1$.

Прогрессия будет строго возрастающей и неограниченной. Следовательно, найдётся член прогрессии, который будет больше верхней границы отрезка, то есть $b_k > 1,2$. Это противоречит условию.

Случай 2: $0 < q < 1$.

Прогрессия будет строго убывающей и её предел равен 0. Следовательно, найдётся член прогрессии, который будет меньше нижней границы отрезка, то есть $b_k < 1$. Это также противоречит условию.

Таким образом, как и в пункте а), такая геометрическая прогрессия не может существовать.

Ответ: Не существует.