Номер 3.18, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.18. Найдите хотя бы одну точку $(x; y)$, имеющую иррациональные координаты, лежащую на прямой:

а) $y = 5x - 2$;

б) $y = \frac{x}{7} + 2$.

Задача состоит в том, чтобы для каждой прямой найти хотя бы одну точку $(x, y)$, у которой одна или обе координаты являются иррациональными числами. Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Примерами иррациональных чисел являются $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e$.

Чтобы найти такую точку, мы можем выбрать произвольное иррациональное значение для одной из координат (например, для $x$) и затем вычислить соответствующее значение другой координаты ($y$) из уравнения прямой.

а) $y = 5x - 2$

Выберем в качестве абсциссы $x$ какое-нибудь простое иррациональное число, например, $x = \sqrt{2}$.

Теперь подставим это значение $x$ в уравнение прямой, чтобы найти соответствующую ординату $y$:

$y = 5 \cdot \sqrt{2} - 2 = 5\sqrt{2} - 2$

Так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число, то $5\sqrt{2}$ также иррационально (произведение ненулевого рационального числа на иррациональное). Сумма или разность иррационального и рационального числа ($5\sqrt{2}$ и $-2$) всегда является иррациональным числом. Следовательно, $y = 5\sqrt{2} - 2$ — иррациональное число.

Таким образом, мы нашли точку $(\sqrt{2}; 5\sqrt{2} - 2)$, обе координаты которой иррациональны, и она лежит на данной прямой.

Ответ: $(\sqrt{2}; 5\sqrt{2} - 2)$.

б) $y = \frac{x}{7} + 2$

Поступим аналогично. Выберем иррациональное значение для $x$. Чтобы сделать вычисления немного проще, можно выбрать $x = 7\sqrt{3}$. Это число иррационально.

Подставим это значение $x$ в уравнение прямой для нахождения $y$:

$y = \frac{7\sqrt{3}}{7} + 2 = \sqrt{3} + 2$

Координата $x = 7\sqrt{3}$ является иррациональной. Координата $y = \sqrt{3} + 2$ также является иррациональной, так как это сумма иррационального числа $\sqrt{3}$ и рационального числа $2$.

Следовательно, точка $(7\sqrt{3}; \sqrt{3} + 2)$ имеет иррациональные координаты и удовлетворяет уравнению прямой.

Ответ: $(7\sqrt{3}; \sqrt{3} + 2)$.