Номер 3.12, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.12. a) Докажите, что для любого иррационального числа $\alpha$ найдётся такое иррациональное число $\beta$, что произведение $\alpha\beta$ — рациональное число.

б) Докажите, что если точка $(x; y)$ лежит на прямой $y = kx + b$, где $k \neq 0, b$ — рациональные числа, то числа $x$ и $y$ или оба рациональные, или оба иррациональные.

а)

Пусть $\alpha$ — произвольное иррациональное число. Нам нужно доказать, что существует иррациональное число $\beta$, такое что произведение $\alpha\beta$ является рациональным числом.

Рассмотрим число $\beta = \frac{1}{\alpha}$. Поскольку $\alpha$ иррационально, то $\alpha \neq 0$, и такое $\beta$ существует.

Сначала докажем, что $\beta$ является иррациональным числом. Будем доказывать методом от противного. Предположим, что $\beta$ — рациональное число. Тогда $\beta$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $p \neq 0, q \neq 0$.

Если $\beta = \frac{p}{q}$, то из этого следует, что $\alpha = \frac{1}{\beta} = \frac{1}{p/q} = \frac{q}{p}$.

Поскольку $q$ и $p$ — целые числа и $p \neq 0$, то их частное $\frac{q}{p}$ является рациональным числом. Следовательно, $\alpha$ — рациональное число. Это противоречит исходному условию, что $\alpha$ — иррациональное число.

Значит, наше предположение о том, что $\beta$ — рациональное, было неверным. Следовательно, $\beta = \frac{1}{\alpha}$ — иррациональное число.

Теперь найдем произведение $\alpha\beta$: $$ \alpha\beta = \alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1 $$

Число 1 является рациональным числом (так как его можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$).

Таким образом, для любого иррационального числа $\alpha$ мы нашли иррациональное число $\beta = \frac{1}{\alpha}$, такое, что их произведение $\alpha\beta=1$ является рациональным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Нам дано, что точка $(x; y)$ лежит на прямой $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — рациональные числа, и $k \neq 0$. Нужно доказать, что числа $x$ и $y$ либо оба рациональны, либо оба иррациональны.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что одно из чисел ($x$ или $y$) рационально, а другое иррационально. Рассмотрим два возможных случая.

1. Пусть $x$ — рациональное число, а $y$ — иррациональное. Поскольку $x$ рационально и $k$ рационально (по условию), их произведение $kx$ также будет рациональным числом (так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции умножения). Сумма рационального числа $kx$ и рационального числа $b$ (по условию) также является рациональным числом (по свойству замкнутости рациональных чисел относительно сложения). Таким образом, $y = kx + b$ должно быть рациональным числом. Это противоречит нашему предположению, что $y$ иррационально. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Пусть $y$ — рациональное число, а $x$ — иррациональное. Выразим $x$ из уравнения прямой. Так как по условию $k \neq 0$, мы можем это сделать: $$ y - b = kx $$ $$ x = \frac{y - b}{k} $$ Поскольку $y$ рационально и $b$ рационально, их разность $y - b$ также является рациональным числом. Частное от деления рационального числа $y - b$ на ненулевое рациональное число $k$ также является рациональным числом. Таким образом, $x$ должно быть рациональным числом. Это противоречит нашему предположению, что $x$ иррационально. Следовательно, и этот случай невозможен.

Мы показали, что оба случая, когда одно из чисел рационально, а другое иррационально, приводят к противоречию. Из этого следует, что возможны только две ситуации: либо числа $x$ и $y$ оба рациональные, либо они оба иррациональные.

Ответ: Утверждение доказано.