Номер 3.8, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.8. Приведите пример, если это возможно, двух иррациональных различных чисел таких, что одновременно:

a) их сумма и разность — рациональные числа;

б) их произведение и частное — рациональные числа.

а) их сумма и разность — рациональные числа;

Предположим, что такие два различных иррациональных числа $x$ и $y$ существуют. По условию, их сумма и разность являются рациональными числами. Обозначим их:
$x + y = r_1$
$x - y = r_2$
где $x \notin \mathbb{Q}$, $y \notin \mathbb{Q}$, $x \neq y$, а $r_1 \in \mathbb{Q}$ и $r_2 \in \mathbb{Q}$.

Мы имеем систему из двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$. Решим эту систему. Сложив два уравнения, получим:
$(x + y) + (x - y) = r_1 + r_2$
$2x = r_1 + r_2$
$x = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(x + y) - (x - y) = r_1 - r_2$
$2y = r_1 - r_2$
$y = \frac{r_1 - r_2}{2}$

Поскольку $r_1$ и $r_2$ — рациональные числа, их сумма $r_1 + r_2$ и разность $r_1 - r_2$ также являются рациональными числами. Деление рационального числа на 2 (которое тоже рационально) дает в результате рациональное число. Следовательно, $x = \frac{r_1 + r_2}{2}$ должно быть рациональным числом, и $y = \frac{r_1 - r_2}{2}$ также должно быть рациональным числом.

Это противоречит исходному условию, согласно которому числа $x$ и $y$ иррациональны. Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Таких чисел не существует.

б) их произведение и частное — рациональные числа.

Да, такие числа существуют. Попробуем их найти. Пусть $x$ и $y$ — два различных иррациональных числа ($x \neq y$, $y \neq 0$). По условию, их произведение и частное являются рациональными числами. Обозначим их:
$x \cdot y = r_1$
$\frac{x}{y} = r_2$
где $x \notin \mathbb{Q}$, $y \notin \mathbb{Q}$, а $r_1 \in \mathbb{Q}$ и $r_2 \in \mathbb{Q}$. Так как $x \neq y$, то $r_2 \neq 1$.

Из второго уравнения выразим $x$:
$x = y \cdot r_2$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y \cdot r_2) \cdot y = r_1$
$y^2 \cdot r_2 = r_1$
$y^2 = \frac{r_1}{r_2}$

Чтобы число $y$ было иррациональным, необходимо, чтобы $y = \pm\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$ было иррациональным. Это возможно, если $\frac{r_1}{r_2}$ является положительным рациональным числом, которое не является квадратом другого рационального числа.

Выберем конкретные значения для $r_1$ и $r_2$, удовлетворяющие этим условиям. Пусть $r_2 = 2$ (рациональное, не равно 1). Пусть $\frac{r_1}{r_2} = 3$ (положительное, не является квадратом рационального числа). Тогда $r_1 = 3 \cdot r_2 = 3 \cdot 2 = 6$ (рациональное).

Теперь найдем $y$ и $x$:
$y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3}$. Это иррациональное число.
$x = y \cdot r_2 = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$. Это также иррациональное число.

Проверим, удовлетворяет ли найденная пара чисел $x = 2\sqrt{3}$ и $y = \sqrt{3}$ всем условиям:
1. $x = 2\sqrt{3}$ — иррациональное число.
2. $y = \sqrt{3}$ — иррациональное число.
3. Числа различны: $2\sqrt{3} \neq \sqrt{3}$.
4. Их произведение: $x \cdot y = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$. Число 6 — рациональное.
5. Их частное: $\frac{x}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$. Число 2 — рациональное.
Все условия выполнены.

Ответ: Да, возможно. Например, числа $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.