Номер 3.1, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.1. Докажите иррациональность числа:

а) $\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{3}$;

в) $1 - \sqrt{3}$;

г) $\sqrt{3} - \sqrt{15}$.

a) Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$ методом от противного.

Предположим, что $\sqrt{2}$ — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$).

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

Возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{2})^2 = (\frac{p}{q})^2$

$2 = \frac{p^2}{q^2}$

Домножим обе части на $q^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$p^2 = 2q^2$

Из этого равенства следует, что $p^2$ является четным числом, так как оно равно произведению двойки и целого числа $q^2$. Если квадрат целого числа четный, то и само число тоже четное. Следовательно, $p$ — четное число.

Поскольку $p$ — четное, его можно представить в виде $p = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это выражение в равенство $p^2 = 2q^2$:

$(2k)^2 = 2q^2$

$4k^2 = 2q^2$

Разделим обе части на 2:

$2k^2 = q^2$

Это новое равенство показывает, что $q^2$ также является четным числом, а значит и само число $q$ является четным.

Таким образом, мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и дробь $\frac{p}{q}$ можно сократить. Но это прямо противоречит нашему начальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой.

Полученное противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, число $\sqrt{2}$ не может быть представлено в виде рациональной дроби.

Ответ: Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

б) Доказательство иррациональности числа $\sqrt{3}$ методом от противного.

Предположим, что $\sqrt{3}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$.

$\sqrt{3} = \frac{p}{q}$

Возведем обе части в квадрат:

$3 = \frac{p^2}{q^2}$

$p^2 = 3q^2$

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 3. Если квадрат целого числа делится на простое число (в данном случае 3), то и само число должно делиться на это простое число. Следовательно, $p$ делится на 3.

Значит, $p$ можно представить в виде $p = 3k$ для некоторого целого $k$. Подставим это в равенство $p^2 = 3q^2$:

$(3k)^2 = 3q^2$

$9k^2 = 3q^2$

Разделим обе части на 3:

$3k^2 = q^2$

Отсюда следует, что $q^2$ делится на 3, а значит и само число $q$ делится на 3.

Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ сократима, что противоречит нашему первоначальному предположению о ее несократимости.

Следовательно, наше предположение о рациональности $\sqrt{3}$ было неверным.

Ответ: Число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

в) Доказательство иррациональности числа $1 - \sqrt{3}$ методом от противного.

Этот довод опирается на уже доказанную иррациональность числа $\sqrt{3}$.

Предположим, что число $1 - \sqrt{3}$ является рациональным. Обозначим его буквой $r$, где $r$ — рациональное число.

$1 - \sqrt{3} = r$

Выразим из этого равенства $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} = 1 - r$

В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел: 1 (которое рационально) и $r$ (которое мы предположили рациональным). Известно, что сумма и разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Таким образом, число $1 - r$ рационально.

Из равенства следует, что $\sqrt{3}$ равно рациональному числу. Однако, как было доказано в пункте б), число $\sqrt{3}$ является иррациональным. Мы пришли к противоречию.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Число $1 - \sqrt{3}$ является иррациональным.

г) Доказательство иррациональности числа $\sqrt{3} - \sqrt{15}$ методом от противного.

Предположим, что число $\sqrt{3} - \sqrt{15}$ является рациональным. Обозначим его буквой $r$, где $r$ — рациональное число.

$\sqrt{3} - \sqrt{15} = r$

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\sqrt{3} - \sqrt{15})^2 = r^2$

$(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = r^2$

$3 - 2\sqrt{45} + 15 = r^2$

$18 - 2\sqrt{9 \cdot 5} = r^2$

$18 - 2 \cdot 3\sqrt{5} = r^2$

$18 - 6\sqrt{5} = r^2$

Теперь выразим из этого равенства иррациональную часть $\sqrt{5}$:

$18 - r^2 = 6\sqrt{5}$

$\sqrt{5} = \frac{18 - r^2}{6}$

Рассмотрим правую часть равенства. По нашему предположению, $r$ — рациональное число, следовательно, $r^2$ также рационально. Числа 18 и 6 рациональны. Разность $18 - r^2$ является рациональным числом. Частное от деления рационального числа на рациональное число 6 также является рациональным числом. Таким образом, все выражение $\frac{18 - r^2}{6}$ является рациональным числом.

Получается, что $\sqrt{5}$ равен рациональному числу. Однако известно, что $\sqrt{5}$ — иррациональное число (доказывается аналогично $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$). Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Число $\sqrt{3} - \sqrt{15}$ является иррациональным.