Номер 2.13, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.13. a) $0,\overline{36}$;

б) $12,0\overline{006}$;

в) $-1,2\overline{3}$;

г) $-0,01\overline{234}$.

а) Чтобы перевести чистую периодическую дробь $0,(36)$ в обыкновенную, обозначим это число через $x$:
$x = 0,(36) = 0.363636...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $10^2 = 100$:
$100x = 36.363636...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:
$100x - x = 36.363636... - 0.363636...$
$99x = 36$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{36}{99}$
Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, который равен 9:
$x = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}$
Ответ: $\frac{4}{11}$

б) Чтобы перевести смешанную периодическую дробь $12,0(006)$ в обыкновенную, представим ее в виде суммы целой и дробной частей: $12 + 0,0(006)$. Займемся преобразованием дробной части.
Пусть $x = 0,0(006) = 0.0006006...$
Сначала умножим на 10, чтобы непериодическая часть (цифра 0) оказалась слева от запятой:
$10x = 0,(006) = 0.006006...$
Теперь, так как в периоде три цифры, умножим полученное равенство на $10^3 = 1000$:
$1000 \cdot (10x) = 1000 \cdot 0.006006...$
$10000x = 6.006006...$
Вычтем из последнего уравнения уравнение $10x = 0.006006...$:
$10000x - 10x = 6.006006... - 0.006006...$
$9990x = 6$
$x = \frac{6}{9990}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{1}{1665}$
Вернемся к исходному числу, добавив целую часть:
$12 + \frac{1}{1665} = 12\frac{1}{1665}$
Ответ: $12\frac{1}{1665}$

в) Для преобразования отрицательной смешанной периодической дроби $-1,2(3)$ сначала преобразуем ее положительное значение $1,2(3)$.
Пусть $x = 1,2(3) = 1.2333...$
Умножим на 10, чтобы до периода не осталось цифр после запятой:
$10x = 12,(3) = 12.333...$
Умножим еще раз на 10, так как период состоит из одной цифры:
$100x = 123.333...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 123.333... - 12.333...$
$90x = 111$
$x = \frac{111}{90}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{111 \div 3}{90 \div 3} = \frac{37}{30}$
Поскольку исходное число было отрицательным, результат также будет отрицательным.
Ответ: $-\frac{37}{30}$

г) Чтобы перевести число $-0,01(234)$, сначала выполним преобразование для положительного числа $0,01(234)$.
Пусть $x = 0,01(234) = 0.01234234...$
Непериодическая часть после запятой ('01') состоит из двух цифр, поэтому умножим на $10^2 = 100$:
$100x = 1,(234) = 1.234234...$
Период ('234') состоит из трех цифр, поэтому умножим полученное равенство на $10^3 = 1000$:
$1000 \cdot (100x) = 1000 \cdot 1.234234...$
$100000x = 1234.234234...$
Вычтем из последнего уравнения $100x = 1.234234...$:
$100000x - 100x = 1234.234234... - 1.234234...$
$99900x = 1233$
$x = \frac{1233}{99900}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя $1+2+3+3=9$ и знаменателя $9+9+9+0+0=27$ делятся на 9.
$x = \frac{1233 \div 9}{99900 \div 9} = \frac{137}{11100}$
Число 137 простое, поэтому дробь несократимая. Не забываем про знак минус у исходного числа.
Ответ: $-\frac{137}{11100}$