Страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.11. Используя калькулятор, определите десятичный знак с указанным номером после запятой в десятичной записи числа:

а) $\frac{5}{13}$, 301-й знак;

б) $\frac{3}{26}$, 127-й знак;

в) $\frac{5}{33}$, 2000-й знак;

г) $\frac{5}{14}$, 78-й знак.

а) Для того чтобы найти 301-й знак после запятой у числа $\frac{5}{13}$, сначала переведем эту дробь в десятичную. Используя калькулятор или деление в столбик, получаем:
$\frac{5}{13} = 5 \div 13 = 0.384615384615... = 0.(384615)$.
Мы получили чистую периодическую дробь. Период дроби (повторяющаяся группа цифр) — `384615`, и его длина составляет 6 цифр.
Чтобы найти 301-ю цифру после запятой, нужно найти остаток от деления номера знака (301) на длину периода (6):
$301 \div 6 = 50$ (остаток 1).
Остаток равен 1. Это означает, что 301-й знак после запятой будет совпадать с первым знаком в периоде.
Первый знак в периоде `384615` — это цифра 3.
Ответ: 3

б) Найдем 127-й знак после запятой у числа $\frac{3}{26}$. Переведем дробь в десятичную форму:
$\frac{3}{26} = 3 \div 26 = 0.1153846153846... = 0.1(153846)$.
Мы получили смешанную периодическую дробь. У нее есть одна цифра после запятой, которая не входит в период (это `1`), и период `153846`, длина которого равна 6.
Поскольку первая цифра не является частью периода, нас интересует $(127 - 1) = 126$-я цифра в последовательности `153846153846...`.
Чтобы найти 126-ю цифру в этой последовательности, разделим 126 на длину периода (6):
$126 \div 6 = 21$ (остаток 0).
Остаток равен 0. Это означает, что искомая цифра — последняя цифра периода.
Последняя цифра в периоде `153846` — это 6.
Ответ: 6

в) Найдем 2000-й знак после запятой у числа $\frac{5}{33}$. Переведем дробь в десятичную:
$\frac{5}{33} = 5 \div 33 = 0.151515... = 0.(15)$.
Это чистая периодическая дробь с периодом `15`, длина которого равна 2.
Чтобы найти 2000-ю цифру, разделим 2000 на длину периода (2):
$2000 \div 2 = 1000$ (остаток 0).
Остаток равен 0. Это означает, что искомая цифра — последняя цифра периода.
Последняя цифра в периоде `15` — это 5.
Ответ: 5

г) Найдем 78-й знак после запятой у числа $\frac{5}{14}$. Переведем дробь в десятичную:
$\frac{5}{14} = 5 \div 14 = 0.3571428571428... = 0.3(571428)$.
Это смешанная периодическая дробь. Одна цифра (`3`) не входит в период, а период `571428` имеет длину 6.
Нам нужен 78-й знак. Так как первая цифра не повторяется, мы ищем $(78 - 1) = 77$-ю цифру в периодической части `571428571428...`.
Для этого найдем остаток от деления 77 на длину периода (6):
$77 \div 6 = 12$ (остаток 5).
Остаток равен 5. Это означает, что искомая цифра — это пятая цифра в периоде.
В периоде `571428` пятой цифрой является 2.
Ответ: 2

Запишите число в виде обыкновенной несократимой дроби:

2.12. а) $0$; б) $-123$; в) $12,0006$; г) $0,00123$.

а) Чтобы представить число 0 в виде обыкновенной несократимой дроби, нужно записать 0 в числитель, а в знаменатель — любое натуральное число, например 1.
$0 = \frac{0}{1}$
Данная дробь является несократимой, так как наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1.
Ответ: $\frac{0}{1}$

б) Чтобы представить целое число -123 в виде обыкновенной несократимой дроби, нужно записать это число в числитель, а в знаменатель — 1.
$-123 = \frac{-123}{1}$
Данная дробь является несократимой, так как наибольший общий делитель модуля числителя (123) и знаменателя (1) равен 1.
Ответ: $\frac{-123}{1}$

в) Для преобразования десятичной дроби 12,0006 в обыкновенную, представим ее в виде неправильной дроби. В числитель запишем число без запятой (120006), а в знаменатель — 1 и столько нулей, сколько цифр после запятой (4 нуля).
$12,0006 = \frac{120006}{10000}$
Теперь сократим полученную дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, являются четными, поэтому их можно разделить на 2.
$\frac{120006 \div 2}{10000 \div 2} = \frac{60003}{5000}$
Проверим, можно ли сократить дробь дальше. Разложим знаменатель 5000 на простые множители: $5000 = 5 \cdot 1000 = 5 \cdot 10^3 = 5 \cdot (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^4$. Простыми множителями знаменателя являются 2 и 5.
Числитель 60003 не делится на 2 (так как он нечетный) и не делится на 5 (так как его последняя цифра не 0 и не 5). Следовательно, у числителя и знаменателя нет общих делителей кроме 1, и дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{60003}{5000}$

г) Для преобразования десятичной дроби 0,00123 в обыкновенную, запишем в числитель число без запятой и ведущих нулей (123), а в знаменатель — 1 и столько нулей, сколько цифр после запятой (5 нулей).
$0,00123 = \frac{123}{100000}$
Теперь проверим, является ли эта дробь сократимой. Для этого найдем простые множители числителя и знаменателя.
Разложим числитель 123 на простые множители. Сумма цифр числа $1+2+3=6$, значит, 123 делится на 3. $123 = 3 \cdot 41$. Числа 3 и 41 являются простыми.
Разложим знаменатель 100000 на простые множители: $100000 = 10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5$.
Поскольку у числителя (множители 3 и 41) и знаменателя (множители 2 и 5) нет общих простых множителей, данная дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{123}{100000}$

2.13. a) $0,\overline{36}$;

б) $12,0\overline{006}$;

в) $-1,2\overline{3}$;

г) $-0,01\overline{234}$.

а) Чтобы перевести чистую периодическую дробь $0,(36)$ в обыкновенную, обозначим это число через $x$:
$x = 0,(36) = 0.363636...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $10^2 = 100$:
$100x = 36.363636...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:
$100x - x = 36.363636... - 0.363636...$
$99x = 36$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{36}{99}$
Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, который равен 9:
$x = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}$
Ответ: $\frac{4}{11}$

б) Чтобы перевести смешанную периодическую дробь $12,0(006)$ в обыкновенную, представим ее в виде суммы целой и дробной частей: $12 + 0,0(006)$. Займемся преобразованием дробной части.
Пусть $x = 0,0(006) = 0.0006006...$
Сначала умножим на 10, чтобы непериодическая часть (цифра 0) оказалась слева от запятой:
$10x = 0,(006) = 0.006006...$
Теперь, так как в периоде три цифры, умножим полученное равенство на $10^3 = 1000$:
$1000 \cdot (10x) = 1000 \cdot 0.006006...$
$10000x = 6.006006...$
Вычтем из последнего уравнения уравнение $10x = 0.006006...$:
$10000x - 10x = 6.006006... - 0.006006...$
$9990x = 6$
$x = \frac{6}{9990}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{1}{1665}$
Вернемся к исходному числу, добавив целую часть:
$12 + \frac{1}{1665} = 12\frac{1}{1665}$
Ответ: $12\frac{1}{1665}$

в) Для преобразования отрицательной смешанной периодической дроби $-1,2(3)$ сначала преобразуем ее положительное значение $1,2(3)$.
Пусть $x = 1,2(3) = 1.2333...$
Умножим на 10, чтобы до периода не осталось цифр после запятой:
$10x = 12,(3) = 12.333...$
Умножим еще раз на 10, так как период состоит из одной цифры:
$100x = 123.333...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 123.333... - 12.333...$
$90x = 111$
$x = \frac{111}{90}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{111 \div 3}{90 \div 3} = \frac{37}{30}$
Поскольку исходное число было отрицательным, результат также будет отрицательным.
Ответ: $-\frac{37}{30}$

г) Чтобы перевести число $-0,01(234)$, сначала выполним преобразование для положительного числа $0,01(234)$.
Пусть $x = 0,01(234) = 0.01234234...$
Непериодическая часть после запятой ('01') состоит из двух цифр, поэтому умножим на $10^2 = 100$:
$100x = 1,(234) = 1.234234...$
Период ('234') состоит из трех цифр, поэтому умножим полученное равенство на $10^3 = 1000$:
$1000 \cdot (100x) = 1000 \cdot 1.234234...$
$100000x = 1234.234234...$
Вычтем из последнего уравнения $100x = 1.234234...$:
$100000x - 100x = 1234.234234... - 1.234234...$
$99900x = 1233$
$x = \frac{1233}{99900}$
Сократим дробь. Сумма цифр числителя $1+2+3+3=9$ и знаменателя $9+9+9+0+0=27$ делятся на 9.
$x = \frac{1233 \div 9}{99900 \div 9} = \frac{137}{11100}$
Число 137 простое, поэтому дробь несократимая. Не забываем про знак минус у исходного числа.
Ответ: $-\frac{137}{11100}$

2.14. Запишите число в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

а) $10.1$;

б) $-1.2$;

в) $4.023$;

г) $-0.0101$.

Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, если приписать к ней в конце бесконечное количество нулей. Таким образом, периодом такой дроби будет 0.

а) Запишем число 10,1 в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого добавим к нему в качестве периода цифру 0.
$10,1 = 10,1000... = 10,1(0)$
Ответ: $10,1(0)$

б) Запишем число -1,2 в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого добавим к нему период, равный 0.
$-1,2 = -1,2000... = -1,2(0)$
Ответ: $-1,2(0)$

в) Запишем число 4,023 в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Добавим к числу бесконечное количество нулей в конце.
$4,023 = 4,023000... = 4,023(0)$
Ответ: $4,023(0)$

г) Запишем число -0,0101 в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого представим его с периодом, равным 0.
$-0,0101 = -0,0101000... = -0,0101(0)$
Ответ: $-0,0101(0)$

2.15. Запишите данные десятичные периодические дроби в виде дробей, имеющих одно и то же число цифр в периоде, и определите период каждой из этих дробей в полученной записи:

а) $3,(345)$ и $59,(34);$

б) $3,(15)$ и $59,(23454).$

Чтобы записать данные десятичные периодические дроби в виде дробей, имеющих одно и то же число цифр в периоде, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) длин их периодов. Это число и будет новой длиной периода для каждой дроби.

а) $3,(345)$ и $59,(34)$

1. Длина периода дроби $3,(345)$ равна 3 (период «345»).
2. Длина периода дроби $59,(34)$ равна 2 (период «34»).
3. Находим наименьшее общее кратное длин периодов: $НОК(3, 2) = 6$. Новая длина периода для обеих дробей будет равна 6.
4. Для дроби $3,(345)$ новый период будет состоять из исходного периода «345», повторенного $6 / 3 = 2$ раза. Новая запись: $3,(345345)$.
5. Для дроби $59,(34)$ новый период будет состоять из исходного периода «34», повторенного $6 / 2 = 3$ раза. Новая запись: $59,(343434)$.

Ответ: Дроби в новой записи: $3,(345345)$ и $59,(343434)$. Период первой дроби: 345345. Период второй дроби: 343434.

б) $3,(15)$ и $59,(23454)$

1. Длина периода дроби $3,(15)$ равна 2 (период «15»).
2. Длина периода дроби $59,(23454)$ равна 5 (период «23454»).
3. Находим наименьшее общее кратное длин периодов: $НОК(2, 5) = 10$. Новая длина периода для обеих дробей будет равна 10.
4. Для дроби $3,(15)$ новый период будет состоять из исходного периода «15», повторенного $10 / 2 = 5$ раз. Новая запись: $3,(1515151515)$.
5. Для дроби $59,(23454)$ новый период будет состоять из исходного периода «23454», повторенного $10 / 5 = 2$ раза. Новая запись: $59,(2345423454)$.

Ответ: Дроби в новой записи: $3,(1515151515)$ и $59,(2345423454)$. Период первой дроби: 1515151515. Период второй дроби: 2345423454.

2.16. Запишите данные десятичные чисто периодические дроби в виде смешанных периодических десятичных дробей, определите их периоды. Единственно ли такое представление:

а) $1,(34);$

б) $30,(115);$

в) $6,(543);$

г) $9,(2610)?$

Чтобы записать чисто периодическую дробь в виде смешанной периодической дроби, нужно одну или несколько цифр из начала периода перенести в дробную часть до периода. При этом сам период циклически сдвигается.

а) Дана чисто периодическая дробь $1,(34)$. Это означает $1.343434...$

Мы можем представить ее в виде смешанной периодической дроби разными способами:

• Перенесем первую цифру периода ('3') в непериодическую часть. Получим $1.3(43)$. Дробь осталась той же ($1.34343...$), но теперь у нее есть непериодическая часть '3' и новый период (43).

• Перенесем первые две цифры периода ('34') в непериодическую часть. Получим $1.34(34)$. Непериодическая часть — '34', новый период — (34).

Ответ: Например, $1.3(43)$ с периодом (43), или $1.34(34)$ с периодом (34).

б) Дана чисто периодическая дробь $30,(115)$. Это означает $30.115115115...$

Примеры представления в виде смешанной периодической дроби:

• Перенесем одну цифру '1': $30.1(151)$. Новый период — (151).

• Перенесем две цифры '11': $30.11(511)$. Новый период — (511).

• Перенесем три цифры '115': $30.115(115)$. Новый период — (115).

Ответ: Например, $30.1(151)$ с периодом (151), или $30.11(511)$ с периодом (511).

в) Дана чисто периодическая дробь $6,(543)$. Это означает $6.543543543...$

Примеры представления в виде смешанной периодической дроби:

• Перенесем одну цифру '5': $6.5(435)$. Новый период — (435).

• Перенесем две цифры '54': $6.54(354)$. Новый период — (354).

Ответ: Например, $6.5(435)$ с периодом (435), или $6.54(354)$ с периодом (354).

г) Дана чисто периодическая дробь $9,(2610)$. Это означает $9.26102610...$

Примеры представления в виде смешанной периодической дроби:

• Перенесем одну цифру '2': $9.2(6102)$. Новый период — (6102).

• Перенесем две цифры '26': $9.26(1026)$. Новый период — (1026).

• Перенесем три цифры '261': $9.261(0261)$. Новый период — (0261).

Ответ: Например, $9.2(6102)$ с периодом (6102), или $9.26(1026)$ с периодом (1026).

Единственно ли такое представление?

Нет, такое представление не является единственным. Как показано в примерах выше, для каждой чисто периодической дроби можно создать бесконечное множество представлений в виде смешанной периодической дроби. Это делается путем выбора разного количества цифр, которые переносятся из начала периода в непериодическую часть. Таким образом, представление чисто периодической дроби в виде смешанной периодической дроби не единственно.

2.17. Выполните действия и представьте результат в виде бесконечной периодической десятичной дроби:

a) $\sqrt{0,(4)}$;

б) $\sqrt{3,48(4)}$;

в) $\sqrt{1,(7)}$;

г) $\sqrt{4,3402(7)}$.

а) Чтобы выполнить действие $\sqrt{0,(4)}$, необходимо сначала представить периодическую десятичную дробь $0,(4)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,(4) = 0,444...$. Умножим это уравнение на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо: $10x = 4,444...$.
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 4,444... - 0,444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$
Теперь мы можем извлечь квадратный корень из полученной дроби:
$\sqrt{0,(4)} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$
Наконец, представим результат $\frac{2}{3}$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель:
$2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.
Ответ: $0,(6)$.

б) Чтобы выполнить действие $\sqrt{3,48(4)}$, представим смешанную периодическую дробь $3,48(4)$ в виде обыкновенной.
Пусть $x = 3,48(4) = 3,48444...$. Умножим на 100, чтобы избавиться от непериодической части после запятой: $100x = 348,444...$.
Теперь умножим на 1000, чтобы сдвинуть запятую еще на один знак: $1000x = 3484,444...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 100x = 3484,444... - 348,444...$
$900x = 3136$
$x = \frac{3136}{900}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{3136 \div 4}{900 \div 4} = \frac{784}{225}$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{3,48(4)} = \sqrt{\frac{784}{225}} = \frac{\sqrt{784}}{\sqrt{225}} = \frac{28}{15}$
Представим результат $\frac{28}{15}$ в виде периодической дроби:
$\frac{28}{15} = 1\frac{13}{15} = 1 + 13 \div 15 = 1,8666... = 1,8(6)$.
Ответ: $1,8(6)$.

в) Чтобы найти $\sqrt{1,(7)}$, представим $1,(7)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 1,(7) = 1,777...$. Умножим на 10: $10x = 17,777...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 17,777... - 1,777...$
$9x = 16$
$x = \frac{16}{9}$
Извлечем квадратный корень:
$\sqrt{1,(7)} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$
Преобразуем результат $\frac{4}{3}$ в периодическую дробь:
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} = 1 + 1 \div 3 = 1,333... = 1,(3)$.
Ответ: $1,(3)$.

г) Чтобы найти $\sqrt{4,3402(7)}$, преобразуем смешанную периодическую дробь $4,3402(7)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 4,3402(7) = 4,3402777...$.
Умножим на $10^4 = 10000$, чтобы часть до периода стала целой: $10000x = 43402,777...$.
Умножим на $10^5 = 100000$, чтобы сдвинуть запятую за первый период: $100000x = 434027,777...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100000x - 10000x = 434027,777... - 43402,777...$
$90000x = 390625$
$x = \frac{390625}{90000}$
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 625: $\frac{390625 \div 625}{90000 \div 625} = \frac{625}{144}$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{4,3402(7)} = \sqrt{\frac{625}{144}} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{144}} = \frac{25}{12}$
Представим результат $\frac{25}{12}$ в виде периодической дроби:
$\frac{25}{12} = 2\frac{1}{12} = 2 + 1 \div 12 = 2 + 0,08333... = 2,08(3)$.
Ответ: $2,08(3)$.

2.18. На числовой прямой отмечены точки $A(-5)$ и $B(10)$. С помощью циркуля и линейки отметьте точку:

а) $C(5)$;

б) $O(0)$;

в) $D(1)$;

г) $P(0,6)$.

а) C(5);

Начальные данные: точки $A(-5)$ и $B(10)$ на числовой прямой. Расстояние между ними составляет $AB = |10 - (-5)| = 15$ единиц. Требуется построить точку $C(5)$. Найдем ее положение относительно данных точек. Расстояние от точки A до точки C равно $AC = |5 - (-5)| = 10$. Расстояние от точки C до точки B равно $BC = |10 - 5| = 5$. Поскольку $AC + BC = 10 + 5 = 15 = AB$, точка C лежит на отрезке AB. Она делит этот отрезок в отношении $AC:BC = 10:5 = 2:1$. Для построения точки C необходимо разделить отрезок AB на $2+1=3$ равные части. Точка C будет второй точкой деления, считая от A.

Построение выполняется по теореме Фалеса. Сначала из точки A под произвольным углом к прямой AB проводится луч. Затем с помощью циркуля на этом луче от точки A откладываются три равных отрезка произвольной длины; обозначим их концы $P_1, P_2, P_3$. Далее, точка $P_3$ соединяется с точкой B. После этого через точки $P_1$ и $P_2$ проводятся прямые, параллельные отрезку $P_3B$. Точки пересечения этих прямых с отрезком AB (обозначим их $K_1$ и $K_2$) разделят отрезок AB на три равные части. Длина каждой части будет равна $15/3 = 5$. Координата точки $K_1$ будет $-5+5=0$, а координата точки $K_2$ будет $0+5=5$. Таким образом, построенная точка $K_2$ является искомой точкой C.

Ответ: Точка C(5) делит отрезок AB в отношении 2:1, считая от точки A. Для ее построения нужно разделить отрезок AB на 3 равные части; C является второй точкой деления от A.

б) O(0);

Требуется построить точку $O(0)$, или начало координат. Найдем ее положение относительно точек A и B. Расстояние от A до O равно $AO = |0 - (-5)| = 5$. Расстояние от O до B равно $OB = |10 - 0| = 10$. Так как $AO + OB = 5 + 10 = 15 = AB$, точка O лежит на отрезке AB. Она делит отрезок в отношении $AO:OB = 5:10 = 1:2$. Это означает, что для построения точки O также необходимо разделить отрезок AB на $1+2=3$ равные части. Точка O будет первой точкой деления, если считать от A.

Построение полностью аналогично построению из пункта а). Разделив отрезок AB на три равные части, мы получаем две точки деления $K_1$ и $K_2$. Как было вычислено ранее, координата точки $K_1$ равна $-5+5=0$. Следовательно, точка $K_1$ является искомой точкой O(0).

Ответ: Точка O(0) делит отрезок AB в отношении 1:2, считая от точки A. Она строится при том же делении отрезка AB на 3 равные части, что и в пункте а); O является первой точкой деления от A.

в) D(1);

Для построения точки $D(1)$ сначала необходимо построить начало координат, точку $O(0)$, как это описано в пункте б). После этого у нас есть точка O(0) и точка B(10). Длина отрезка OB равна 10. Искомая точка D(1) лежит на отрезке OB, так как $0 < 1 < 10$. Расстояние от O до D равно $OD = |1 - 0| = 1$. Чтобы отложить отрезок длиной 1, можно разделить отрезок OB, имеющий длину 10, на 10 равных частей. Каждая такая часть будет иметь длину 1.

Построение выполняется делением отрезка OB на 10 равных частей с помощью циркуля и линейки. Из точки O под произвольным углом к прямой OB проводится луч, на котором откладываются 10 равных отрезков произвольной длины. Конец десятого отрезка соединяется с точкой B. Затем через конец первого отрезка на луче проводится прямая, параллельная прямой, соединяющей конец десятого отрезка и точку B. Точка пересечения этой параллельной прямой с отрезком OB и будет искомой точкой D(1).

Ответ: Для построения точки D(1) сначала строится точка O(0). Затем отрезок OB (длиной 10) делится на 10 равных частей. Точка D(1) является первой точкой деления от O.

г) P(0,6).

Требуется построить точку $P(0,6)$. Координата $0,6$ может быть представлена в виде дроби $3/5$. Для построения этой точки нам необходим единичный отрезок. Построим точки O(0) и D(1) так, как это описано в пунктах б) и в). Теперь у нас есть отрезок OD длиной 1. Искомая точка P(0,6) лежит на отрезке OD. Она делит его в отношении $OP:PD = 0,6:(1-0,6) = 0,6:0,4 = 3:2$. Следовательно, для построения точки P нужно разделить единичный отрезок OD на $3+2=5$ равных частей и взять третью точку деления от O.

Построение заключается в делении отрезка OD на 5 равных частей. Из точки O под произвольным углом к прямой OD проводится луч. На нем откладываются 5 равных отрезков произвольной длины. Конец пятого отрезка, $P'_5$, соединяется с точкой D. Затем через конец третьего отрезка, $P'_3$, проводится прямая, параллельная отрезку $P'_5D$. Точка пересечения этой прямой с отрезком OD и будет искомой точкой P(0,6).

Ответ: Для построения точки P(0,6) сначала строятся точки O(0) и D(1). Затем отрезок OD (длиной 1) делится на 5 равных частей. Точка P(0,6) является третьей точкой деления от O.

3.1. Докажите иррациональность числа:

а) $\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{3}$;

в) $1 - \sqrt{3}$;

г) $\sqrt{3} - \sqrt{15}$.

a) Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$ методом от противного.

Предположим, что $\sqrt{2}$ — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$).

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

Возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{2})^2 = (\frac{p}{q})^2$

$2 = \frac{p^2}{q^2}$

Домножим обе части на $q^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$p^2 = 2q^2$

Из этого равенства следует, что $p^2$ является четным числом, так как оно равно произведению двойки и целого числа $q^2$. Если квадрат целого числа четный, то и само число тоже четное. Следовательно, $p$ — четное число.

Поскольку $p$ — четное, его можно представить в виде $p = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это выражение в равенство $p^2 = 2q^2$:

$(2k)^2 = 2q^2$

$4k^2 = 2q^2$

Разделим обе части на 2:

$2k^2 = q^2$

Это новое равенство показывает, что $q^2$ также является четным числом, а значит и само число $q$ является четным.

Таким образом, мы пришли к выводу, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ являются четными числами. Это означает, что они оба делятся на 2, и дробь $\frac{p}{q}$ можно сократить. Но это прямо противоречит нашему начальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой.

Полученное противоречие доказывает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, число $\sqrt{2}$ не может быть представлено в виде рациональной дроби.

Ответ: Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

б) Доказательство иррациональности числа $\sqrt{3}$ методом от противного.

Предположим, что $\sqrt{3}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$.

$\sqrt{3} = \frac{p}{q}$

Возведем обе части в квадрат:

$3 = \frac{p^2}{q^2}$

$p^2 = 3q^2$

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на 3. Если квадрат целого числа делится на простое число (в данном случае 3), то и само число должно делиться на это простое число. Следовательно, $p$ делится на 3.

Значит, $p$ можно представить в виде $p = 3k$ для некоторого целого $k$. Подставим это в равенство $p^2 = 3q^2$:

$(3k)^2 = 3q^2$

$9k^2 = 3q^2$

Разделим обе части на 3:

$3k^2 = q^2$

Отсюда следует, что $q^2$ делится на 3, а значит и само число $q$ делится на 3.

Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ сократима, что противоречит нашему первоначальному предположению о ее несократимости.

Следовательно, наше предположение о рациональности $\sqrt{3}$ было неверным.

Ответ: Число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

в) Доказательство иррациональности числа $1 - \sqrt{3}$ методом от противного.

Этот довод опирается на уже доказанную иррациональность числа $\sqrt{3}$.

Предположим, что число $1 - \sqrt{3}$ является рациональным. Обозначим его буквой $r$, где $r$ — рациональное число.

$1 - \sqrt{3} = r$

Выразим из этого равенства $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} = 1 - r$

В правой части этого равенства находится разность двух рациональных чисел: 1 (которое рационально) и $r$ (которое мы предположили рациональным). Известно, что сумма и разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Таким образом, число $1 - r$ рационально.

Из равенства следует, что $\sqrt{3}$ равно рациональному числу. Однако, как было доказано в пункте б), число $\sqrt{3}$ является иррациональным. Мы пришли к противоречию.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Число $1 - \sqrt{3}$ является иррациональным.

г) Доказательство иррациональности числа $\sqrt{3} - \sqrt{15}$ методом от противного.

Предположим, что число $\sqrt{3} - \sqrt{15}$ является рациональным. Обозначим его буквой $r$, где $r$ — рациональное число.

$\sqrt{3} - \sqrt{15} = r$

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\sqrt{3} - \sqrt{15})^2 = r^2$

$(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = r^2$

$3 - 2\sqrt{45} + 15 = r^2$

$18 - 2\sqrt{9 \cdot 5} = r^2$

$18 - 2 \cdot 3\sqrt{5} = r^2$

$18 - 6\sqrt{5} = r^2$

Теперь выразим из этого равенства иррациональную часть $\sqrt{5}$:

$18 - r^2 = 6\sqrt{5}$

$\sqrt{5} = \frac{18 - r^2}{6}$

Рассмотрим правую часть равенства. По нашему предположению, $r$ — рациональное число, следовательно, $r^2$ также рационально. Числа 18 и 6 рациональны. Разность $18 - r^2$ является рациональным числом. Частное от деления рационального числа на рациональное число 6 также является рациональным числом. Таким образом, все выражение $\frac{18 - r^2}{6}$ является рациональным числом.

Получается, что $\sqrt{5}$ равен рациональному числу. Однако известно, что $\sqrt{5}$ — иррациональное число (доказывается аналогично $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$). Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Число $\sqrt{3} - \sqrt{15}$ является иррациональным.

3.2. Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа:

а) $5\sqrt{2}$;

б) $-7\sqrt{3}$;

в) $5(1 - \sqrt{3})$;

г) $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$.

В основе всех доказательств лежит метод от противного и использование следующих свойств, которые, предположительно, были установлены в пункте 3.1:

• Числа $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и т.д. (квадратные корни из простых чисел) являются иррациональными.
• Сумма, разность, произведение и частное (при делителе, не равном нулю) двух рациональных чисел являются рациональными числами.
• Сумма (или разность) рационального и иррационального числа является иррациональным числом.
• Произведение (или частное) ненулевого рационального числа и иррационального числа является иррациональным числом.

Докажем от противного. Предположим, что число $5\sqrt{2}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде $r$, где $r$ — рациональное число ($r \in \mathbb{Q}$).

$5\sqrt{2} = r$

Выразим из этого равенства $\sqrt{2}$, разделив обе части на 5 (рациональное, ненулевое число):

$\sqrt{2} = \frac{r}{5}$

В правой части этого равенства находится частное двух рациональных чисел ($r$ и 5), которое, по свойству рациональных чисел, также является рациональным числом. Однако в левой части находится число $\sqrt{2}$, которое, как известно, иррационально. Получено противоречие: иррациональное число равно рациональному.

Следовательно, наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Число $5\sqrt{2}$ является иррациональным.

Докажем от противного. Предположим, что число $-7\sqrt{3}$ рационально. Тогда $-7\sqrt{3} = r$, где $r \in \mathbb{Q}$.

Выразим $\sqrt{3}$, разделив обе части уравнения на -7:

$\sqrt{3} = \frac{r}{-7}$

Так как $r$ и -7 — рациональные числа, их частное $\frac{r}{-7}$ также является рациональным числом. Но $\sqrt{3}$ — иррациональное число. Мы пришли к противоречию.

Значит, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Число $-7\sqrt{3}$ является иррациональным.

Докажем от противного. Предположим, что число $5(1 - \sqrt{3})$ рационально. Пусть $5(1 - \sqrt{3}) = r$, где $r \in \mathbb{Q}$.

Разделим обе части уравнения на 5:

$1 - \sqrt{3} = \frac{r}{5}$

Правая часть уравнения, $\frac{r}{5}$, является рациональным числом как частное двух рациональных. Обозначим это рациональное число как $q$.

$1 - \sqrt{3} = q$

Теперь выразим из этого равенства $\sqrt{3}$:

$\sqrt{3} = 1 - q$

В правой части стоит разность двух рациональных чисел (1 и $q$), которая также является рациональным числом. Но в левой части стоит иррациональное число $\sqrt{3}$. Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было ложным.

Ответ: Число $5(1 - \sqrt{3})$ является иррациональным.

Докажем от противного. Предположим, что число $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ рационально. Это значит, что оно равно некоторому рациональному числу $r$.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12} = r$

Умножим обе части уравнения на 12:

$\sqrt{3} + \sqrt{15} = 12r$

Произведение $12r$ является рациональным числом, так как $12 \in \mathbb{Q}$ и $r \in \mathbb{Q}$. Обозначим его как $q$.

$\sqrt{3} + \sqrt{15} = q$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть:

$\sqrt{15} = q - \sqrt{3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(\sqrt{15})^2 = (q - \sqrt{3})^2$

$15 = q^2 - 2q\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

$15 = q^2 - 2q\sqrt{3} + 3$

Теперь выразим член, содержащий $\sqrt{3}$:

$2q\sqrt{3} = q^2 + 3 - 15$

$2q\sqrt{3} = q^2 - 12$

Так как $\sqrt{3} + \sqrt{15} > 0$, то и $q = \sqrt{3} + \sqrt{15} > 0$, следовательно $q \neq 0$. Мы можем разделить обе части на $2q$:

$\sqrt{3} = \frac{q^2 - 12}{2q}$

В правой части этого равенства все компоненты ($q$, 12, 2) и все выполняемые операции (возведение в степень, вычитание, умножение, деление) принадлежат множеству рациональных чисел. Следовательно, вся дробь $\frac{q^2 - 12}{2q}$ является рациональным числом.

Таким образом, мы получили, что иррациональное число $\sqrt{3}$ равно рациональному числу, что является противоречием.

Это доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Число $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{12}$ является иррациональным.