Номер 2.17, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.17. Выполните действия и представьте результат в виде бесконечной периодической десятичной дроби:

a) $\sqrt{0,(4)}$;

б) $\sqrt{3,48(4)}$;

в) $\sqrt{1,(7)}$;

г) $\sqrt{4,3402(7)}$.

а) Чтобы выполнить действие $\sqrt{0,(4)}$, необходимо сначала представить периодическую десятичную дробь $0,(4)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,(4) = 0,444...$. Умножим это уравнение на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо: $10x = 4,444...$.
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 4,444... - 0,444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$
Теперь мы можем извлечь квадратный корень из полученной дроби:
$\sqrt{0,(4)} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$
Наконец, представим результат $\frac{2}{3}$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель:
$2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.
Ответ: $0,(6)$.

б) Чтобы выполнить действие $\sqrt{3,48(4)}$, представим смешанную периодическую дробь $3,48(4)$ в виде обыкновенной.
Пусть $x = 3,48(4) = 3,48444...$. Умножим на 100, чтобы избавиться от непериодической части после запятой: $100x = 348,444...$.
Теперь умножим на 1000, чтобы сдвинуть запятую еще на один знак: $1000x = 3484,444...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$1000x - 100x = 3484,444... - 348,444...$
$900x = 3136$
$x = \frac{3136}{900}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{3136 \div 4}{900 \div 4} = \frac{784}{225}$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{3,48(4)} = \sqrt{\frac{784}{225}} = \frac{\sqrt{784}}{\sqrt{225}} = \frac{28}{15}$
Представим результат $\frac{28}{15}$ в виде периодической дроби:
$\frac{28}{15} = 1\frac{13}{15} = 1 + 13 \div 15 = 1,8666... = 1,8(6)$.
Ответ: $1,8(6)$.

в) Чтобы найти $\sqrt{1,(7)}$, представим $1,(7)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 1,(7) = 1,777...$. Умножим на 10: $10x = 17,777...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 17,777... - 1,777...$
$9x = 16$
$x = \frac{16}{9}$
Извлечем квадратный корень:
$\sqrt{1,(7)} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$
Преобразуем результат $\frac{4}{3}$ в периодическую дробь:
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} = 1 + 1 \div 3 = 1,333... = 1,(3)$.
Ответ: $1,(3)$.

г) Чтобы найти $\sqrt{4,3402(7)}$, преобразуем смешанную периодическую дробь $4,3402(7)$ в обыкновенную.
Пусть $x = 4,3402(7) = 4,3402777...$.
Умножим на $10^4 = 10000$, чтобы часть до периода стала целой: $10000x = 43402,777...$.
Умножим на $10^5 = 100000$, чтобы сдвинуть запятую за первый период: $100000x = 434027,777...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100000x - 10000x = 434027,777... - 43402,777...$
$90000x = 390625$
$x = \frac{390625}{90000}$
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 625: $\frac{390625 \div 625}{90000 \div 625} = \frac{625}{144}$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{4,3402(7)} = \sqrt{\frac{625}{144}} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{144}} = \frac{25}{12}$
Представим результат $\frac{25}{12}$ в виде периодической дроби:
$\frac{25}{12} = 2\frac{1}{12} = 2 + 1 \div 12 = 2 + 0,08333... = 2,08(3)$.
Ответ: $2,08(3)$.