Номер 2.11, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.11. Используя калькулятор, определите десятичный знак с указанным номером после запятой в десятичной записи числа:

а) $\frac{5}{13}$, 301-й знак;

б) $\frac{3}{26}$, 127-й знак;

в) $\frac{5}{33}$, 2000-й знак;

г) $\frac{5}{14}$, 78-й знак.

а) Для того чтобы найти 301-й знак после запятой у числа $\frac{5}{13}$, сначала переведем эту дробь в десятичную. Используя калькулятор или деление в столбик, получаем:
$\frac{5}{13} = 5 \div 13 = 0.384615384615... = 0.(384615)$.
Мы получили чистую периодическую дробь. Период дроби (повторяющаяся группа цифр) — `384615`, и его длина составляет 6 цифр.
Чтобы найти 301-ю цифру после запятой, нужно найти остаток от деления номера знака (301) на длину периода (6):
$301 \div 6 = 50$ (остаток 1).
Остаток равен 1. Это означает, что 301-й знак после запятой будет совпадать с первым знаком в периоде.
Первый знак в периоде `384615` — это цифра 3.
Ответ: 3

б) Найдем 127-й знак после запятой у числа $\frac{3}{26}$. Переведем дробь в десятичную форму:
$\frac{3}{26} = 3 \div 26 = 0.1153846153846... = 0.1(153846)$.
Мы получили смешанную периодическую дробь. У нее есть одна цифра после запятой, которая не входит в период (это `1`), и период `153846`, длина которого равна 6.
Поскольку первая цифра не является частью периода, нас интересует $(127 - 1) = 126$-я цифра в последовательности `153846153846...`.
Чтобы найти 126-ю цифру в этой последовательности, разделим 126 на длину периода (6):
$126 \div 6 = 21$ (остаток 0).
Остаток равен 0. Это означает, что искомая цифра — последняя цифра периода.
Последняя цифра в периоде `153846` — это 6.
Ответ: 6

в) Найдем 2000-й знак после запятой у числа $\frac{5}{33}$. Переведем дробь в десятичную:
$\frac{5}{33} = 5 \div 33 = 0.151515... = 0.(15)$.
Это чистая периодическая дробь с периодом `15`, длина которого равна 2.
Чтобы найти 2000-ю цифру, разделим 2000 на длину периода (2):
$2000 \div 2 = 1000$ (остаток 0).
Остаток равен 0. Это означает, что искомая цифра — последняя цифра периода.
Последняя цифра в периоде `15` — это 5.
Ответ: 5

г) Найдем 78-й знак после запятой у числа $\frac{5}{14}$. Переведем дробь в десятичную:
$\frac{5}{14} = 5 \div 14 = 0.3571428571428... = 0.3(571428)$.
Это смешанная периодическая дробь. Одна цифра (`3`) не входит в период, а период `571428` имеет длину 6.
Нам нужен 78-й знак. Так как первая цифра не повторяется, мы ищем $(78 - 1) = 77$-ю цифру в периодической части `571428571428...`.
Для этого найдем остаток от деления 77 на длину периода (6):
$77 \div 6 = 12$ (остаток 5).
Остаток равен 5. Это означает, что искомая цифра — это пятая цифра в периоде.
В периоде `571428` пятой цифрой является 2.
Ответ: 2