Номер 2.4, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.4. Среди правильных дробей вида $ \frac{n}{12} $, где $n$ — натуральное

число, найдите ближайшую к числу:

а) $ \frac{2}{7} $;

б) $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{4}{7} $;

г) $ \frac{6}{7} $.

а) $\frac{2}{7}$
Задача состоит в том, чтобы найти такую правильную дробь вида $\frac{n}{12}$ (где $n$ — натуральное число от 1 до 11), которая находится на числовой оси ближе всего к дроби $\frac{2}{7}$. Это означает, что нам нужно найти $n$, для которого модуль разности $|\frac{n}{12} - \frac{2}{7}|$ будет минимальным.
Сначала найдем, какому значению было бы равно $n$, если бы дроби были равны:
$\frac{n}{12} = \frac{2}{7}$
$n = 12 \cdot \frac{2}{7} = \frac{24}{7} \approx 3.428$
Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, мы должны выбрать целое число, ближайшее к $3.428$. Такими числами являются 3 и 4. Оба этих значения допустимы, так как они находятся в диапазоне от 1 до 11.
Теперь сравним, какая из дробей, $\frac{3}{12}$ или $\frac{4}{12}$, ближе к $\frac{2}{7}$. Для этого вычислим расстояния (модули разностей):
1. Для $n=3$: расстояние равно $|\frac{3}{12} - \frac{2}{7}| = |\frac{1}{4} - \frac{2}{7}|$. Приводим к общему знаменателю 28: $|\frac{7}{28} - \frac{8}{28}| = |-\frac{1}{28}| = \frac{1}{28}$.
2. Для $n=4$: расстояние равно $|\frac{4}{12} - \frac{2}{7}| = |\frac{1}{3} - \frac{2}{7}|$. Приводим к общему знаменателю 21: $|\frac{7}{21} - \frac{6}{21}| = |\frac{1}{21}| = \frac{1}{21}$.
Сравниваем полученные расстояния: $\frac{1}{28}$ и $\frac{1}{21}$. Так как у дробей одинаковый числитель, меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Поскольку $28 > 21$, то $\frac{1}{28} < \frac{1}{21}$.
Наименьшее расстояние соответствует $n=3$.
Ответ: $\frac{3}{12}$.

б) $\frac{3}{7}$
Ищем ближайшую к числу $\frac{3}{7}$ правильную дробь вида $\frac{n}{12}$ ($1 \le n \le 11$).
Найдем значение $n$, при котором $\frac{n}{12} \approx \frac{3}{7}$:
$n \approx 12 \cdot \frac{3}{7} = \frac{36}{7} \approx 5.143$
Ближайшие к $5.143$ натуральные числа — это 5 и 6. Проверим оба варианта.
1. Для $n=5$: расстояние $|\frac{5}{12} - \frac{3}{7}| = |\frac{5 \cdot 7 - 3 \cdot 12}{12 \cdot 7}| = |\frac{35 - 36}{84}| = |-\frac{1}{84}| = \frac{1}{84}$.
2. Для $n=6$: расстояние $|\frac{6}{12} - \frac{3}{7}| = |\frac{1}{2} - \frac{3}{7}| = |\frac{7 - 6}{14}| = \frac{1}{14}$.
Сравним расстояния $\frac{1}{84}$ и $\frac{1}{14}$. Так как $84 > 14$, то $\frac{1}{84} < \frac{1}{14}$.
Наименьшее расстояние соответствует $n=5$.
Ответ: $\frac{5}{12}$.

в) $\frac{4}{7}$
Ищем ближайшую к числу $\frac{4}{7}$ правильную дробь вида $\frac{n}{12}$ ($1 \le n \le 11$).
Найдем значение $n$, при котором $\frac{n}{12} \approx \frac{4}{7}$:
$n \approx 12 \cdot \frac{4}{7} = \frac{48}{7} \approx 6.857$
Ближайшие к $6.857$ натуральные числа — это 6 и 7. Проверим оба варианта.
1. Для $n=6$: расстояние $|\frac{6}{12} - \frac{4}{7}| = |\frac{1}{2} - \frac{4}{7}| = |\frac{7 - 8}{14}| = |-\frac{1}{14}| = \frac{1}{14}$.
2. Для $n=7$: расстояние $|\frac{7}{12} - \frac{4}{7}| = |\frac{7 \cdot 7 - 4 \cdot 12}{12 \cdot 7}| = |\frac{49 - 48}{84}| = \frac{1}{84}$.
Сравним расстояния $\frac{1}{14}$ и $\frac{1}{84}$. Так как $14 < 84$, то $\frac{1}{14} > \frac{1}{84}$.
Наименьшее расстояние соответствует $n=7$.
Ответ: $\frac{7}{12}$.

г) $\frac{6}{7}$
Ищем ближайшую к числу $\frac{6}{7}$ правильную дробь вида $\frac{n}{12}$ ($1 \le n \le 11$).
Найдем значение $n$, при котором $\frac{n}{12} \approx \frac{6}{7}$:
$n \approx 12 \cdot \frac{6}{7} = \frac{72}{7} \approx 10.286$
Ближайшие к $10.286$ натуральные числа — это 10 и 11. Проверим оба варианта.
1. Для $n=10$: расстояние $|\frac{10}{12} - \frac{6}{7}| = |\frac{5}{6} - \frac{6}{7}| = |\frac{5 \cdot 7 - 6 \cdot 6}{42}| = |\frac{35 - 36}{42}| = |-\frac{1}{42}| = \frac{1}{42}$.
2. Для $n=11$: расстояние $|\frac{11}{12} - \frac{6}{7}| = |\frac{11 \cdot 7 - 6 \cdot 12}{84}| = |\frac{77 - 72}{84}| = \frac{5}{84}$.
Сравним расстояния $\frac{1}{42}$ и $\frac{5}{84}$. Приведем дробь $\frac{1}{42}$ к знаменателю 84: $\frac{1}{42} = \frac{2}{84}$.
Теперь сравним $\frac{2}{84}$ и $\frac{5}{84}$. Так как $2 < 5$, то $\frac{2}{84} < \frac{5}{84}$.
Наименьшее расстояние соответствует $n=10$.
Ответ: $\frac{10}{12}$.