Номер 1.56, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.56. Сколько делителей имеет данное число:

a) $315$;
б) $9450$;
в) $250000$;
г) $623700$?

Чтобы найти количество делителей числа, необходимо сначала разложить это число на простые множители. Если каноническое разложение числа $N$ на простые множители имеет вид $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$, где $p_i$ – простые числа, а $a_i$ – их степени, то количество натуральных делителей числа $N$ вычисляется по формуле: $\tau(N) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k + 1)$.

а)

Найдем количество делителей числа 315.

1. Разложим число 315 на простые множители:
$315 | 3$
$105 | 3$
$35 | 5$
$7 | 7$
$1$

Таким образом, каноническое разложение числа 315: $315 = 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$.

2. Степени простых множителей: $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 1$.

3. Вычислим количество делителей по формуле:
$\tau(315) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.

Ответ: 12

б)

Найдем количество делителей числа 9450.

1. Разложим число 9450 на простые множители:
$9450 = 945 \cdot 10 = 945 \cdot 2 \cdot 5$.
Разложим 945:
$945 | 3$
$315 | 3$
$105 | 3$
$35 | 5$
$7 | 7$
$1$
Значит, $945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$.

Таким образом, каноническое разложение числа 9450: $9450 = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1$.

2. Степени простых множителей: $a_1 = 1$, $a_2 = 3$, $a_3 = 2$, $a_4 = 1$.

3. Вычислим количество делителей по формуле:
$\tau(9450) = (1 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48$.

Ответ: 48

в)

Найдем количество делителей числа 250 000.

1. Представим число в виде произведения:
$250 000 = 25 \cdot 10000 = 25 \cdot 10^4$.

2. Разложим множители на простые числа:
$25 = 5^2$
$10 = 2 \cdot 5$, следовательно $10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.

3. Получим каноническое разложение:
$250 000 = 5^2 \cdot 2^4 \cdot 5^4 = 2^4 \cdot 5^{2+4} = 2^4 \cdot 5^6$.

4. Степени простых множителей: $a_1 = 4$, $a_2 = 6$.

5. Вычислим количество делителей по формуле:
$\tau(250 000) = (4 + 1)(6 + 1) = 5 \cdot 7 = 35$.

Ответ: 35

г)

Найдем количество делителей числа 623 700.

1. Представим число в виде произведения:
$623 700 = 6237 \cdot 100 = 6237 \cdot 10^2 = 6237 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 6237 \cdot 2^2 \cdot 5^2$.

2. Разложим на множители число 6237. Сумма его цифр $6+2+3+7=18$ делится на 9, значит, и само число делится на 9.
$6237 \div 9 = 693$.
Сумма цифр числа 693 ($6+9+3=18$) также делится на 9.
$693 \div 9 = 77$.
Число 77 раскладывается на $7 \cdot 11$.
Следовательно, $6237 = 9 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 11 = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 = 3^4 \cdot 7^1 \cdot 11^1$.

3. Получим каноническое разложение:
$623 700 = (3^4 \cdot 7^1 \cdot 11^1) \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$.

4. Степени простых множителей: $a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_3 = 2$, $a_4 = 1$, $a_5 = 1$.

5. Вычислим количество делителей по формуле:
$\tau(623 700) = (2 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 180$.

Ответ: 180