Номер 1.58, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.58. a) $yx = 15$;

б) $36x^2 - y^2 = 27$;

B) $7xy + 4y^2 = 11$;

Г) $x^2 - 7xy + 6y^2 = 18$.

а) $yx = 15$

Данное уравнение является диофантовым уравнением. Для нахождения целочисленных решений $(x, y)$ необходимо, чтобы $x$ и $y$ были целыми делителями числа 15.

Целые делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Рассмотрим все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 15:

• Если $x = 1$, то $y = 15$. Пара: $(1, 15)$.
• Если $x = 3$, то $y = 5$. Пара: $(3, 5)$.
• Если $x = 5$, то $y = 3$. Пара: $(5, 3)$.
• Если $x = 15$, то $y = 1$. Пара: $(15, 1)$.
• Если $x = -1$, то $y = -15$. Пара: $(-1, -15)$.
• Если $x = -3$, то $y = -5$. Пара: $(-3, -5)$.
• Если $x = -5$, то $y = -3$. Пара: $(-5, -3)$.
• Если $x = -15$, то $y = -1$. Пара: $(-15, -1)$.

Ответ: $(1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1), (-1, -15), (-3, -5), (-5, -3), (-15, -1)$.

б) $36x^2 - y^2 = 27$

Левую часть уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(6x)^2 - y^2 = 27$

$(6x - y)(6x + y) = 27$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(6x - y)$ и $(6x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 27, значит, они являются делителями числа 27.

Целые делители числа 27: $\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$.

Обозначим $A = 6x - y$ и $B = 6x + y$. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 6x - y = A \\ 6x + y = B \end{cases}$

Сложив уравнения, получим: $12x = A + B \implies x = \frac{A + B}{12}$.

Вычтя первое уравнение из второго, получим: $2y = B - A \implies y = \frac{B - A}{2}$.

Для того чтобы $x$ и $y$ были целыми, необходимо, чтобы сумма $A+B$ была кратна 12, а разность $B-A$ была четной (т.е. $A$ и $B$ должны иметь одинаковую четность). Так как их произведение $AB=27$ нечетно, то $A$ и $B$ оба нечетные, и их разность всегда будет четной.

Рассмотрим все пары делителей $(A, B)$ числа 27:

• $(A, B) = (1, 27) \implies A+B = 28$. Не делится на 12.
• $(A, B) = (3, 9) \implies A+B = 12$. $x = \frac{12}{12} = 1$, $y = \frac{9-3}{2} = 3$. Решение: $(1, 3)$.
• $(A, B) = (9, 3) \implies A+B = 12$. $x = \frac{12}{12} = 1$, $y = \frac{3-9}{2} = -3$. Решение: $(1, -3)$.
• $(A, B) = (27, 1) \implies A+B = 28$. Не делится на 12.
• $(A, B) = (-1, -27) \implies A+B = -28$. Не делится на 12.
• $(A, B) = (-3, -9) \implies A+B = -12$. $x = \frac{-12}{12} = -1$, $y = \frac{-9-(-3)}{2} = -3$. Решение: $(-1, -3)$.
• $(A, B) = (-9, -3) \implies A+B = -12$. $x = \frac{-12}{12} = -1$, $y = \frac{-3-(-9)}{2} = 3$. Решение: $(-1, 3)$.
• $(A, B) = (-27, -1) \implies A+B = -28$. Не делится на 12.

Ответ: $(1, 3), (1, -3), (-1, -3), (-1, 3)$.

в) $7xy + 4y^2 = 11$

Вынесем $y$ за скобки в левой части уравнения:

$y(7x + 4y) = 11$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $y$ должен быть целым делителем числа 11. Число 11 простое, его делители: $\pm 1, \pm 11$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Пусть $y = 1$.
   $1 \cdot (7x + 4 \cdot 1) = 11 \implies 7x + 4 = 11 \implies 7x = 7 \implies x = 1$.
   Получаем решение: $(1, 1)$.
2. Пусть $y = -1$.
   $-1 \cdot (7x + 4 \cdot (-1)) = 11 \implies -(7x - 4) = 11 \implies 7x - 4 = -11 \implies 7x = -7 \implies x = -1$.
   Получаем решение: $(-1, -1)$.
3. Пусть $y = 11$.
   $11 \cdot (7x + 4 \cdot 11) = 11 \implies 7x + 44 = 1 \implies 7x = -43 \implies x = -43/7$.
   $x$ не является целым числом, значит, это не решение.
4. Пусть $y = -11$.
   $-11 \cdot (7x + 4 \cdot (-11)) = 11 \implies 7x - 44 = -1 \implies 7x = 43 \implies x = 43/7$.
   $x$ не является целым числом, значит, это не решение.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

г) $x^2 - 7xy + 6y^2 = 18$

Разложим левую часть уравнения на множители. Рассматривая ее как квадратный трехчлен относительно $x$, найдем его корни:

$D = (-7y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6y^2) = 49y^2 - 24y^2 = 25y^2 = (5y)^2$

$x_{1,2} = \frac{7y \pm \sqrt{(5y)^2}}{2} = \frac{7y \pm 5y}{2}$

$x_1 = \frac{7y+5y}{2} = \frac{12y}{2} = 6y$

$x_2 = \frac{7y-5y}{2} = \frac{2y}{2} = y$

Тогда левую часть можно записать в виде $(x - x_1)(x - x_2)$, и уравнение принимает вид:

$(x - 6y)(x - y) = 18$

Обозначим $A = x - 6y$ и $B = x - y$. $A$ и $B$ — целые числа, являющиеся делителями числа 18. Составим систему:

$\begin{cases} x - 6y = A \\ x - y = B \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго: $(x - y) - (x - 6y) = B - A \implies 5y = B - A \implies y = \frac{B - A}{5}$.

Для того чтобы $y$ был целым числом, разность $B - A$ должна быть кратна 5.

Делители числа 18: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$.

Проверим все пары $(A, B)$, для которых $AB = 18$:

• $(1, 18) \implies B-A = 17$, не кратно 5.
• $(2, 9) \implies B-A = 7$, не кратно 5.
• $(3, 6) \implies B-A = 3$, не кратно 5.
• $(6, 3) \implies B-A = -3$, не кратно 5.
• $(9, 2) \implies B-A = -7$, не кратно 5.
• $(18, 1) \implies B-A = -17$, не кратно 5.
• $(-1, -18) \implies B-A = -17$, не кратно 5.
• $(-2, -9) \implies B-A = -7$, не кратно 5.
• $(-3, -6) \implies B-A = -3$, не кратно 5.
• $(-6, -3) \implies B-A = 3$, не кратно 5.
• $(-9, -2) \implies B-A = 7$, не кратно 5.
• $(-18, -1) \implies B-A = 17$, не кратно 5.

Ни в одном из случаев разность $B-A$ не делится на 5. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.