Номер 1.52, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.52. Полагают по определению, что $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$ (символ $n!$ читают n-факториал), а $1! = 1$. С каким показателем входит число 2 в разложение на простые множители числа:

а) 10!;

б) 20!;

в) 40!;

г) 100!?

Чтобы найти, с каким показателем простое число $p$ входит в разложение числа $n!$ на простые множители, можно использовать формулу Лежандра. Эта формула утверждает, что показатель степени (экспонента) равен сумме целых частей от деления $n$ на степени $p$:

$E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor = \lfloor \frac{n}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^3} \rfloor + \dots$

Здесь $\lfloor x \rfloor$ обозначает целую часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Суммирование продолжается до тех пор, пока $p^k \le n$, так как для больших $k$ слагаемые становятся равными нулю.

В нашей задаче мы ищем показатель для простого числа $p=2$.

а) 10!;

Найдем показатель степени двойки в разложении числа $10!$. Здесь $n=10, p=2$.

Используя формулу Лежандра, получаем:
$E_2(10!) = \lfloor \frac{10}{2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{2^2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{2^3} \rfloor + \lfloor \frac{10}{2^4} \rfloor + \dots$
$= \lfloor \frac{10}{2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{4} \rfloor + \lfloor \frac{10}{8} \rfloor + 0 + \dots$
$= 5 + 2 + 1 = 8$.

Ответ: 8

б) 20!;

Найдем показатель степени двойки в разложении числа $20!$. Здесь $n=20, p=2$.

Вычисление по формуле Лежандра:
$E_2(20!) = \lfloor \frac{20}{2} \rfloor + \lfloor \frac{20}{4} \rfloor + \lfloor \frac{20}{8} \rfloor + \lfloor \frac{20}{16} \rfloor + \lfloor \frac{20}{32} \rfloor + \dots$
$= 10 + 5 + 2 + 1 + 0 + \dots$
$= 18$.

Ответ: 18

в) 40!;

Найдем показатель степени двойки в разложении числа $40!$. Здесь $n=40, p=2$.

Вычисление по формуле Лежандра:
$E_2(40!) = \lfloor \frac{40}{2} \rfloor + \lfloor \frac{40}{4} \rfloor + \lfloor \frac{40}{8} \rfloor + \lfloor \frac{40}{16} \rfloor + \lfloor \frac{40}{32} \rfloor + \lfloor \frac{40}{64} \rfloor + \dots$
$= 20 + 10 + 5 + 2 + 1 + 0 + \dots$
$= 38$.

Ответ: 38

г) 100!?

Найдем показатель степени двойки в разложении числа $100!$. Здесь $n=100, p=2$.

Вычисление по формуле Лежандра:
$E_2(100!) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor + \lfloor \frac{100}{4} \rfloor + \lfloor \frac{100}{8} \rfloor + \lfloor \frac{100}{16} \rfloor + \lfloor \frac{100}{32} \rfloor + \lfloor \frac{100}{64} \rfloor + \lfloor \frac{100}{128} \rfloor + \dots$
$= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 + \dots$
$= 97$.

Ответ: 97