Номер 1.45, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.45. Докажите, что:

а) остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами;

б) остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами.

Пусть $N$ — произвольное натуральное число. Любое натуральное число можно представить в виде суммы: $N = 100 \cdot k + l$, где $l$ — это число, образованное двумя последними цифрами числа $N$ (от 00 до 99), а $k$ — это целое неотрицательное число, образованное всеми предыдущими цифрами числа $N$. Если число $N$ имеет меньше трех цифр, то $k=0$. Например, для числа $12345$ имеем $k=123$ и $l=45$, так что $12345 = 100 \cdot 123 + 45$. Для числа $78$ имеем $k=0$ и $l=78$, так что $78 = 100 \cdot 0 + 78$.

Мы хотим доказать, что остаток от деления $N$ на 4 равен остатку от деления $l$ на 4.

Рассмотрим первое слагаемое в представлении числа $N$, то есть $100 \cdot k$. Число 100 делится на 4 без остатка, поскольку $100 = 4 \cdot 25$. Следовательно, произведение $100 \cdot k$ также делится на 4 без остатка для любого целого $k$. Это означает, что остаток от деления $100 \cdot k$ на 4 всегда равен 0.

Согласно свойству остатков, остаток от деления суммы на некоторое число равен остатку от деления суммы их остатков. В нашем случае, остаток от деления $N = 100 \cdot k + l$ на 4 равен остатку от деления суммы остатков слагаемых $100 \cdot k$ и $l$. Так как остаток от деления $100 \cdot k$ на 4 равен 0, то остаток от деления $N$ на 4 полностью определяется остатком от деления $l$ на 4.

Используя язык сравнений по модулю, это можно записать так: $100 \equiv 0 \pmod{4}$ Отсюда следует, что $100 \cdot k \equiv 0 \cdot k \equiv 0 \pmod{4}$. Тогда для $N = 100 \cdot k + l$ имеем: $N \equiv 0 + l \pmod{4}$, то есть $N \equiv l \pmod{4}$.

Это означает, что числа $N$ и $l$ дают одинаковые остатки при делении на 4, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство этого утверждения полностью аналогично предыдущему. Снова представим произвольное натуральное число $N$ в виде: $N = 100 \cdot k + l$, где $l$ — число, образованное двумя последними цифрами $N$, а $k$ — число, образованное остальными цифрами.

Мы хотим доказать, что остаток от деления $N$ на 25 равен остатку от деления $l$ на 25.

Рассмотрим слагаемое $100 \cdot k$. Число 100 делится на 25 без остатка, поскольку $100 = 4 \cdot 25$. Значит, произведение $100 \cdot k$ также делится на 25 без остатка для любого целого $k$. Остаток от деления $100 \cdot k$ на 25 равен 0.

Так как остаток от деления суммы $100 \cdot k + l$ на 25 определяется суммой остатков слагаемых, а остаток первого слагаемого равен 0, то остаток от деления $N$ на 25 будет равен остатку от деления $l$ на 25.

На языке сравнений по модулю: $100 \equiv 0 \pmod{25}$ Следовательно, $100 \cdot k \equiv 0 \pmod{25}$. Для $N = 100 \cdot k + l$ получаем: $N \equiv 0 + l \pmod{25}$, то есть $N \equiv l \pmod{25}$.

Таким образом, числа $N$ и $l$ дают одинаковые остатки при делении на 25.

Ответ: Утверждение доказано.