Номер 1.39, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.39. Найдите простые числа $p$ и $q$, если известно, что корни уравнения $x^2 - px + q = 0$ — натуральные числа.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного уравнения $x^2 - px + q = 0$. По условию, $p$ и $q$ — простые числа, а $x_1$ и $x_2$ — натуральные числа (то есть, целые положительные числа).

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($a=1$) сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
$x_1 + x_2 = p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Рассмотрим второе равенство: $x_1 \cdot x_2 = q$. Поскольку $q$ — простое число, его натуральными делителями являются только 1 и само число $q$. Так как по условию корни $x_1$ и $x_2$ являются натуральными числами, то один из корней должен быть равен 1, а другой — $q$. Без ограничения общности, предположим, что $x_1 = 1$ и $x_2 = q$.

Теперь подставим эти значения в первое равенство из теоремы Виета: $x_1 + x_2 = p$.
$1 + q = p$

Из этого соотношения следует, что $p$ и $q$ — это два простых числа, которые являются последовательными целыми числами. Единственная пара таких чисел — это 2 и 3. Любая другая пара последовательных целых чисел обязательно содержит одно четное число, большее двух, которое не может быть простым.

Рассмотрим два возможных варианта:

• Если $q=2$, то $p = 2 + 1 = 3$. Оба числа, 2 и 3, являются простыми. Этот вариант подходит.
• Если бы меньшее из чисел было $p$, а большее $q$, то $q=p+1$. Тогда, чтобы $p$ и $q$ были простыми, $p$ должно быть равно 2, а $q$ должно быть равно 3. Но в нашем случае $p=q+1$, значит $p>q$. Поэтому $q$ должно быть меньшим числом, т.е. $q=2$, а $p=3$.

Следовательно, единственное возможное решение — это $p=3$ и $q=2$.

Выполним проверку. Подставим найденные значения $p=3$ и $q=2$ в исходное уравнение:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Его можно разложить на множители: $(x-1)(x-2) = 0$. Отсюда получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Оба корня являются натуральными числами, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: $p=3, q=2$.