Номер 1.33, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.33. Найдите все простые числа, меньшие:

а) 50;

б) 100.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Для нахождения всех простых чисел до заданного предела можно последовательно исключать составные числа, используя метод, известный как "Решето Эратосфена".

а) Чтобы найти все простые числа, меньшие 50, необходимо рассмотреть все натуральные числа от 2 до 49. Для проверки чисел на простоту достаточно проверить их делимость на простые числа, квадрат которых не превышает 50. Поскольку $7^2=49$ и следующее простое число $11$ в квадрате дает $121 > 50$, то проверку на делимость нужно проводить только для простых чисел 2, 3, 5 и 7.
1. Начинаем с 2, это первое простое число. Все остальные четные числа являются составными.
2. Следующее простое число — 3. Все числа, кратные 3 (кроме самого числа 3), являются составными.
3. Следующее простое — 5. Исключаем все числа, кратные 5.
4. Следующее простое — 7. Исключаем все числа, кратные 7.
Все числа, которые не были исключены в процессе, являются простыми.
В результате получаем следующий список простых чисел, меньших 50.
Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

б) Чтобы найти все простые числа, меньшие 100, мы продолжаем тот же процесс для чисел до 99. Предел для проверки делимости — это простые числа, чей квадрат не больше 100. Так как $\sqrt{100}=10$, то нам нужно проверять делимость на простые числа 2, 3, 5 и 7, как и в предыдущем пункте.
Мы уже нашли все простые числа до 50. Теперь проверим числа от 50 до 99:
- Исключаем все четные числа.
- Исключаем числа, кратные 3 (например, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99).
- Исключаем числа, кратные 5 (например, 55, 65, 85, 95).
- Исключаем числа, кратные 7 (например, 77, 91).
Оставшиеся в диапазоне от 50 до 99 числа 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 являются простыми. Объединив их с ранее найденным списком, мы получим все простые числа меньше 100.
Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.