Номер 1.26, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.26. а) Докажите, что если при некотором натуральном значении $n$ число $n^3 - n$ делится на 6, то и число $(n+1)^3 - (n+1)$ также делится на 6.

б) Докажите, что если при некотором натуральном значении $n$ число $n^3 + 5n$ делится на 6, то и число $(n+1)^3 + 5(n+1)$ также делится на 6.

в) Докажите, что если при некотором натуральном значении $n$ число $7^n + 3n - 1$ делится на 9, то и число $7^{n+1} + 3(n+1) - 1$ также делится на 9.

г) Докажите, что если при некотором натуральном значении $n$ число $3^{2n+2} - 8n - 9$ делится на 64, то и число $3^{2n+4} - 8(n+1) - 9$ также делится на 64.

а)

Данная задача является шагом индукции в доказательстве методом математической индукции. Нам нужно доказать, что если утверждение верно для $n$, то оно верно и для $n+1$.

Пусть при некотором натуральном $n$ число $n^3 - n$ делится на 6. Это означает, что $n^3 - n = 6k$ для некоторого целого числа $k$.

Рассмотрим выражение для $n+1$: $(n+1)^3 - (n+1)$. Преобразуем его, раскрыв скобки:

$(n+1)^3 - (n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - (n+1) = n^3 + 3n^2 + 2n$

Теперь выделим в полученном выражении исходное выражение $n^3 - n$, чтобы использовать условие:

$n^3 + 3n^2 + 2n = (n^3 - n) + n + 3n^2 + 2n = (n^3 - n) + (3n^2 + 3n)$

Вынесем общий множитель во втором слагаемом:

$(n^3 - n) + 3n(n+1)$

Получилась сумма двух слагаемых. Проанализируем делимость каждого из них на 6:

1. Первое слагаемое, $(n^3 - n)$, делится на 6 по условию.
2. Второе слагаемое, $3n(n+1)$. Произведение $n(n+1)$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно является четным, следовательно, $n(n+1)$ всегда делится на 2. Тогда произведение $3n(n+1)$ гарантированно делится на $3 \times 2 = 6$.

Поскольку оба слагаемых делятся на 6, то и их сумма $(n^3 - n) + 3n(n+1)$ также делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть при некотором натуральном $n$ число $n^3 + 5n$ делится на 6. Это значит, что $n^3 + 5n = 6k$ для некоторого целого $k$.

Рассмотрим выражение для $n+1$: $(n+1)^3 + 5(n+1)$. Преобразуем его:

$(n+1)^3 + 5(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (5n + 5) = n^3 + 3n^2 + 8n + 6$

Выделим в полученном выражении исходное выражение $n^3 + 5n$:

$n^3 + 3n^2 + 8n + 6 = (n^3 + 5n) + 3n^2 + 3n + 6 = (n^3 + 5n) + 3n(n+1) + 6$

Получилась сумма трех слагаемых. Проанализируем делимость каждого из них на 6:

1. Первое слагаемое, $(n^3 + 5n)$, делится на 6 по условию.
2. Второе слагаемое, $3n(n+1)$, делится на 6 (как показано в пункте а).
3. Третье слагаемое, $6$, очевидно делится на 6.

Поскольку все три слагаемых делятся на 6, их сумма также делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

в)

Пусть при некотором натуральном $n$ число $7^n + 3n - 1$ делится на 9. Обозначим это выражение $A_n = 7^n + 3n - 1$. По условию $A_n$ делится на 9.

Рассмотрим соответствующее выражение для $n+1$: $A_{n+1} = 7^{n+1} + 3(n+1) - 1$.

Преобразуем $A_{n+1}$:

$A_{n+1} = 7^{n+1} + 3n + 3 - 1 = 7 \cdot 7^n + 3n + 2$

Из условия $A_n = 7^n + 3n - 1$ выразим $7^n = A_n - 3n + 1$. Подставим это выражение в формулу для $A_{n+1}$:

$A_{n+1} = 7(A_n - 3n + 1) + 3n + 2 = 7A_n - 21n + 7 + 3n + 2 = 7A_n - 18n + 9$

Рассмотрим полученное выражение. Оно состоит из трех слагаемых: $7A_n$, $-18n$ и $9$.

1. Первое слагаемое, $7A_n$, делится на 9, так как по условию $A_n$ делится на 9.
2. Второе слагаемое, $-18n$, делится на 9, так как $18 = 2 \times 9$.
3. Третье слагаемое, $9$, очевидно делится на 9.

Так как все слагаемые делятся на 9, то и их алгебраическая сумма $A_{n+1}$ делится на 9.

Ответ: Утверждение доказано.

г)

Пусть при некотором натуральном $n$ число $3^{2n+2} - 8n - 9$ делится на 64. Обозначим это выражение $A_n = 3^{2n+2} - 8n - 9$. По условию $A_n$ делится на 64.

Рассмотрим соответствующее выражение для $n+1$: $A_{n+1} = 3^{2(n+1)+2} - 8(n+1) - 9$.

Преобразуем $A_{n+1}$:

$A_{n+1} = 3^{2n+4} - 8n - 8 - 9 = 3^{2n+4} - 8n - 17$

$A_{n+1} = 3^2 \cdot 3^{2n+2} - 8n - 17 = 9 \cdot 3^{2n+2} - 8n - 17$

Из условия $A_n = 3^{2n+2} - 8n - 9$ выразим $3^{2n+2} = A_n + 8n + 9$. Подставим это в выражение для $A_{n+1}$:

$A_{n+1} = 9(A_n + 8n + 9) - 8n - 17$

$A_{n+1} = 9A_n + 72n + 81 - 8n - 17$

$A_{n+1} = 9A_n + 64n + 64 = 9A_n + 64(n+1)$

Рассмотрим полученную сумму:

1. Первое слагаемое, $9A_n$, делится на 64, так как по условию $A_n$ делится на 64.
2. Второе слагаемое, $64(n+1)$, очевидно делится на 64.

Так как оба слагаемых делятся на 64, то и их сумма $A_{n+1}$ делится на 64.

Ответ: Утверждение доказано.