Номер 1.25, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.25. Докажите, что произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 13$ делится на $(1 + 2 + 3 + \dots + 13)$, а произведение $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 16$ не делится на $(1 + 2 + 3 + \dots + 16)$.

Докажем, что произведение 1 · 2 · 3 · ... · 13 делится на (1 + 2 + 3 + ... + 13).
Обозначим произведение как $P_{13} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 13 = 13!$.
Обозначим сумму как $S_{13} = 1 + 2 + 3 + \ldots + 13$.
Данная сумма является суммой первых 13 членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — число членов, $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член. В нашем случае $n=13$, $a_1=1$, $a_{13}=13$.
$S_{13} = \frac{13(1 + 13)}{2} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 13 \cdot 7 = 91$.
Нам нужно доказать, что $P_{13}$ делится на $S_{13}$, то есть что $13!$ делится на $91$.
Для того чтобы число делилось на $91$, оно должно делиться на все его простые множители. Разложим $91$ на простые множители: $91 = 7 \cdot 13$.
Произведение $13! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 13$ по определению содержит среди своих множителей как число $7$, так и число $13$.
Следовательно, $13!$ делится и на $7$, и на $13$. А раз оно делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение, то есть $13!$ делится на $7 \cdot 13 = 91$.
Ответ: что и требовалось доказать.

Докажем, что произведение 1 · 2 · 3 · ... · 16 не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16).
Обозначим произведение как $P_{16} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 16 = 16!$.
Обозначим сумму как $S_{16} = 1 + 2 + 3 + \ldots + 16$.
Вычислим эту сумму по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_{16} = \frac{16(1 + 16)}{2} = \frac{16 \cdot 17}{2} = 8 \cdot 17 = 136$.
Нам нужно доказать, что $P_{16}$ не делится на $S_{16}$, то есть что $16!$ не делится на $136$.
Для того чтобы число делилось на $136$, оно должно делиться на все его простые множители. Разложим $136$ на простые множители: $136 = 2 \cdot 68 = 2 \cdot 2 \cdot 34 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 17 = 2^3 \cdot 17$.
Рассмотрим произведение $16! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 16$.
Оно содержит множитель $8=2^3$, поэтому $16!$ делится на $8$.
Однако, чтобы $16!$ делилось на $136$, оно также должно делиться на $17$.
Число $17$ является простым. В разложении числа $16!$ на простые множители могут входить только простые числа, не превосходящие $16$ (это 2, 3, 5, 7, 11, 13).
Поскольку $17 > 16$, простое число $17$ не может быть делителем числа $16!$.
Так как $16!$ не делится на $17$, оно не может делиться и на число $136$, одним из множителей которого является $17$.
Ответ: что и требовалось доказать.