Номер 1.21, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.21. Найдите все целочисленные значения параметра $a$, при которых оба корня уравнения — целые числа:

a) $x^2 + ax + \frac{4}{a - 4} = 0$;

б) $(a + 2)x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 5a - 4 = 0$.

а)

Рассмотрим уравнение $x^2 + ax + \frac{4}{a-4} = 0$.

По условию, параметр $a$ — целое число, а оба корня уравнения, $x_1$ и $x_2$, также являются целыми числами. Для того чтобы уравнение было определено, знаменатель $a-4$ не должен быть равен нулю, то есть $a \ne 4$.

Применим теорему Виета для данного приведенного квадратного уравнения:

• $x_1 + x_2 = -a$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{a-4}$

Так как $x_1$ и $x_2$ — целые числа, их сумма $x_1+x_2$ и произведение $x_1 \cdot x_2$ также должны быть целыми числами. Сумма корней $-a$ является целым числом, так как $a$ — целое. Произведение корней $\frac{4}{a-4}$ должно быть целым числом. Это возможно только если $a-4$ является целым делителем числа 4.

Целые делители числа 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Рассмотрим все возможные случаи для $a-4$:

1. $a - 4 = 1 \implies a = 5$
2. $a - 4 = -1 \implies a = 3$
3. $a - 4 = 2 \implies a = 6$
4. $a - 4 = -2 \implies a = 2$
5. $a - 4 = 4 \implies a = 8$
6. $a - 4 = -4 \implies a = 0$

Теперь для каждого из этих целочисленных значений $a$ коэффициенты уравнения становятся целыми. Уравнение имеет вид $x^2 + ax + C = 0$, где $C = \frac{4}{a-4}$ — целое число. Корни такого уравнения будут целыми, если его дискриминант $D = a^2 - 4C$ является полным квадратом неотрицательного целого числа.

Проверим это условие для каждого найденного значения $a$:

• При $a=5$: $C = \frac{4}{1} = 4$. $D = 5^2 - 4 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$. Дискриминант — полный квадрат. Корни $x = \frac{-5 \pm 3}{2}$ равны $-1$ и $-4$. Оба целые. Значение $a=5$ подходит.
• При $a=3$: $C = \frac{4}{-1} = -4$. $D = 3^2 - 4 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Дискриминант — полный квадрат. Корни $x = \frac{-3 \pm 5}{2}$ равны $1$ и $-4$. Оба целые. Значение $a=3$ подходит.
• При $a=6$: $C = \frac{4}{2} = 2$. $D = 6^2 - 4 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$. Не является полным квадратом. Значение $a=6$ не подходит.
• При $a=2$: $C = \frac{4}{-2} = -2$. $D = 2^2 - 4 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$. Не является полным квадратом. Значение $a=2$ не подходит.
• При $a=8$: $C = \frac{4}{4} = 1$. $D = 8^2 - 4 \cdot 1 = 64 - 4 = 60$. Не является полным квадратом. Значение $a=8$ не подходит.
• При $a=0$: $C = \frac{4}{-4} = -1$. $D = 0^2 - 4 \cdot (-1) = 4 = 2^2$. Дискриминант — полный квадрат. Уравнение $x^2 - 1 = 0$ имеет корни $x = \pm 1$. Оба целые. Значение $a=0$ подходит.

Таким образом, целочисленные значения параметра $a$, при которых оба корня уравнения целые, это 0, 3 и 5.

Ответ: $a \in \{0, 3, 5\}$.

б)

Рассмотрим уравнение $(a+2)x^2 + (2a-1)x + a^2 - 5a - 4 = 0$.

По условию, параметр $a$ — целое число, а оба корня уравнения (или один корень, если уравнение линейное или имеет кратные корни) являются целыми числами.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a+2=0 \implies a=-2$.
При $a=-2$ уравнение становится линейным:
$(2(-2)-1)x + ((-2)^2 - 5(-2) - 4) = 0$
$(-5)x + (4 + 10 - 4) = 0$
$-5x + 10 = 0 \implies 5x=10 \implies x=2$.
Корень уравнения $x=2$ является целым числом. Таким образом, $a=-2$ является одним из решений.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, т.е. $a \ne -2$.
Уравнение является квадратным. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его целые корни. По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -\frac{2a-1}{a+2}$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{a^2-5a-4}{a+2}$

Поскольку $x_1$ и $x_2$ — целые, их сумма и произведение также должны быть целыми. Преобразуем выражения для суммы и произведения, выделив целую часть:
$x_1+x_2 = -\frac{2(a+2)-4-1}{a+2} = -\left(\frac{2(a+2)}{a+2} - \frac{5}{a+2}\right) = -2 + \frac{5}{a+2}$.
Для того чтобы эта сумма была целой, необходимо, чтобы дробь $\frac{5}{a+2}$ была целым числом. Это означает, что $a+2$ должен быть делителем числа 5. Делители 5: $\pm 1, \pm 5$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{(a-7)(a+2)+10}{a+2} = a-7 + \frac{10}{a+2}$.
Для того чтобы это произведение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{10}{a+2}$ была целым числом. Это означает, что $a+2$ должен быть делителем числа 10. Делители 10: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.

Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому $a+2$ должен быть общим делителем чисел 5 и 10, то есть делителем числа 5.
Возможные значения для $a+2$: $1, -1, 5, -5$.
Отсюда возможные значения для $a$:

• $a+2=1 \implies a=-1$
• $a+2=-1 \implies a=-3$
• $a+2=5 \implies a=3$
• $a+2=-5 \implies a=-7$

Теперь проверим эти значения. Если сумма $S=x_1+x_2$ и произведение $P=x_1x_2$ являются целыми, то сами корни $x_1, x_2$ являются корнями уравнения $t^2 - St + P = 0$. Они будут целыми, если дискриминант $D' = S^2 - 4P$ является полным квадратом.

• При $a=-1$:
  $S = -2 + \frac{5}{1} = 3$
  $P = -1-7 + \frac{10}{1} = 2$
  $D' = 3^2 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 = 1^2$. $D'$ — полный квадрат. Корни уравнения $t^2-3t+2=0$ равны 1 и 2. Оба целые. Значение $a=-1$ подходит.
• При $a=-3$:
  $S = -2 + \frac{5}{-1} = -7$
  $P = -3-7 + \frac{10}{-1} = -20$
  $D' = (-7)^2 - 4 \cdot (-20) = 49 + 80 = 129$. Не является полным квадратом. Значение $a=-3$ не подходит.
• При $a=3$:
  $S = -2 + \frac{5}{5} = -1$
  $P = 3-7 + \frac{10}{5} = -2$
  $D' = (-1)^2 - 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$. $D'$ — полный квадрат. Корни уравнения $t^2+t-2=0$ равны 1 и -2. Оба целые. Значение $a=3$ подходит.
• При $a=-7$:
  $S = -2 + \frac{5}{-5} = -3$
  $P = -7-7 + \frac{10}{-5} = -16$
  $D' = (-3)^2 - 4 \cdot (-16) = 9 + 64 = 73$. Не является полным квадратом. Значение $a=-7$ не подходит.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем, что искомые значения параметра $a$ — это -2, -1 и 3.

Ответ: $a \in \{-2, -1, 3\}$.