Номер 1.19, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.19. Найдите все значения $a$, при которых $x$ и $y$ являются натуральными числами:

а) $x = \frac{4}{a} + 3, y = \frac{8}{a} + a$;

б) $x = \frac{3}{a} + 3, y = \frac{9}{a} + 2a$.

а) По условию задачи, x и y являются натуральными числами, то есть $x \in \mathbb{N}$ и $y \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим первое уравнение: $x = \frac{4}{a} + 3$. Выразим из него параметр a.
$x - 3 = \frac{4}{a}$
$a = \frac{4}{x-3}$
Поскольку $x$ – натуральное число, $x \ge 1$. Заметим, что $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Теперь подставим полученное выражение для a во второе уравнение: $y = \frac{8}{a} + a$.
$y = \frac{8}{\frac{4}{x-3}} + \frac{4}{x-3} = \frac{8(x-3)}{4} + \frac{4}{x-3} = 2(x-3) + \frac{4}{x-3}$
$y = 2x - 6 + \frac{4}{x-3}$

Поскольку x и y – натуральные числа, то y должно быть целым числом. В выражении $y = 2x - 6 + \frac{4}{x-3}$ слагаемые $2x$ и $-6$ являются целыми. Следовательно, для того чтобы y было целым, необходимо, чтобы выражение $\frac{4}{x-3}$ также было целым. Это означает, что знаменатель $(x-3)$ должен быть делителем числителя 4.

Целые делители числа 4: $\{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.

Рассмотрим все возможные значения для $(x-3)$ и найдем соответствующие значения x, проверив, являются ли они натуральными числами.
1. $x-3 = -4 \Rightarrow x = -1$. Не является натуральным числом.
2. $x-3 = -2 \Rightarrow x = 1$. Является натуральным числом.
3. $x-3 = -1 \Rightarrow x = 2$. Является натуральным числом.
4. $x-3 = 1 \Rightarrow x = 4$. Является натуральным числом.
5. $x-3 = 2 \Rightarrow x = 5$. Является натуральным числом.
6. $x-3 = 4 \Rightarrow x = 7$. Является натуральным числом.

Теперь для каждого найденного натурального значения x проверим, будет ли y также натуральным числом.
• При $x=1$: $y = 2(1) - 6 + \frac{4}{1-3} = 2 - 6 - 2 = -6$. Не является натуральным числом.
• При $x=2$: $y = 2(2) - 6 + \frac{4}{2-3} = 4 - 6 - 4 = -6$. Не является натуральным числом.
• При $x=4$: $y = 2(4) - 6 + \frac{4}{4-3} = 8 - 6 + 4 = 6$. Является натуральным числом.
• При $x=5$: $y = 2(5) - 6 + \frac{4}{5-3} = 10 - 6 + 2 = 6$. Является натуральным числом.
• При $x=7$: $y = 2(7) - 6 + \frac{4}{7-3} = 14 - 6 + 1 = 9$. Является натуральным числом.

Мы нашли три пары натуральных чисел $(x, y)$: $(4, 6)$, $(5, 6)$ и $(7, 9)$. Теперь найдем соответствующие значения параметра a по формуле $a = \frac{4}{x-3}$.
• Для $x=4$: $a = \frac{4}{4-3} = \frac{4}{1} = 4$.
• Для $x=5$: $a = \frac{4}{5-3} = \frac{4}{2} = 2$.
• Для $x=7$: $a = \frac{4}{7-3} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: $a \in \{1, 2, 4\}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, x и y должны быть натуральными числами.

Из первого уравнения $x = \frac{3}{a} + 3$ выразим a:
$x - 3 = \frac{3}{a}$
$a = \frac{3}{x-3}$
Здесь $x \in \mathbb{N}$ и $x \neq 3$.

Подставим это выражение для a во второе уравнение $y = \frac{9}{a} + 2a$:
$y = \frac{9}{\frac{3}{x-3}} + 2 \left( \frac{3}{x-3} \right) = \frac{9(x-3)}{3} + \frac{6}{x-3} = 3(x-3) + \frac{6}{x-3}$
$y = 3x - 9 + \frac{6}{x-3}$

Для того чтобы y было целым числом, выражение $\frac{6}{x-3}$ должно быть целым. Это значит, что $(x-3)$ должен быть делителем числа 6.

Целые делители числа 6: $\{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\}$.

Найдем возможные натуральные значения x:
1. $x-3 = -6 \Rightarrow x = -3$. Не натуральное.
2. $x-3 = -3 \Rightarrow x = 0$. Не натуральное.
3. $x-3 = -2 \Rightarrow x = 1$. Натуральное.
4. $x-3 = -1 \Rightarrow x = 2$. Натуральное.
5. $x-3 = 1 \Rightarrow x = 4$. Натуральное.
6. $x-3 = 2 \Rightarrow x = 5$. Натуральное.
7. $x-3 = 3 \Rightarrow x = 6$. Натуральное.
8. $x-3 = 6 \Rightarrow x = 9$. Натуральное.

Проверим, будет ли y натуральным числом для найденных значений x.
• При $x=1$: $y = 3(1) - 9 + \frac{6}{1-3} = 3 - 9 - 3 = -9$. Не натуральное.
• При $x=2$: $y = 3(2) - 9 + \frac{6}{2-3} = 6 - 9 - 6 = -9$. Не натуральное.
• При $x=4$: $y = 3(4) - 9 + \frac{6}{4-3} = 12 - 9 + 6 = 9$. Натуральное.
• При $x=5$: $y = 3(5) - 9 + \frac{6}{5-3} = 15 - 9 + 3 = 9$. Натуральное.
• При $x=6$: $y = 3(6) - 9 + \frac{6}{6-3} = 18 - 9 + 2 = 11$. Натуральное.
• При $x=9$: $y = 3(9) - 9 + \frac{6}{9-3} = 27 - 9 + 1 = 19$. Натуральное.

Осталось найти соответствующие значения a по формуле $a = \frac{3}{x-3}$.
• Для $x=4$: $a = \frac{3}{4-3} = \frac{3}{1} = 3$.
• Для $x=5$: $a = \frac{3}{5-3} = \frac{3}{2}$.
• Для $x=6$: $a = \frac{3}{6-3} = \frac{3}{3} = 1$.
• Для $x=9$: $a = \frac{3}{9-3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in \{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 3\}$.