Номер 1.14, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.14. Найдите все такие натуральные числа n, при которых:

а) выражение $\frac{5n + 4}{n}$ является натуральным числом;

б) выражение $\frac{5n + 4}{n + 3}$ является натуральным числом;

в) выражение $\frac{7n + 12}{n}$ является натуральным числом;

г) выражение $\frac{7n + 11}{n - 5}$ является натуральным числом.

а) выражение $\frac{5n + 4}{n}$ является натуральным числом;

Для того чтобы данное выражение было натуральным числом, где $n$ — натуральное число, преобразуем его, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{5n + 4}{n} = \frac{5n}{n} + \frac{4}{n} = 5 + \frac{4}{n}$

Выражение $5 + \frac{4}{n}$ является натуральным числом тогда и только тогда, когда $\frac{4}{n}$ является целым числом, и сумма $5 + \frac{4}{n}$ положительна. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $\frac{4}{n}$ всегда положительно. Следовательно, нам нужно найти все натуральные $n$, при которых 4 делится на $n$ без остатка. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 4.

Натуральными делителями числа 4 являются 1, 2 и 4.

Проверим эти значения:

При $n=1$: $5 + \frac{4}{1} = 9$ (натуральное).

При $n=2$: $5 + \frac{4}{2} = 5 + 2 = 7$ (натуральное).

При $n=4$: $5 + \frac{4}{4} = 5 + 1 = 6$ (натуральное).

Ответ: $n \in \{1, 2, 4\}$.

б) выражение $\frac{5n + 4}{n + 3}$ является натуральным числом;

Чтобы найти все натуральные $n$, при которых данное выражение является натуральным числом, выделим целую часть дроби. Это можно сделать, представив числитель в виде, содержащем знаменатель:

$\frac{5n + 4}{n + 3} = \frac{5(n + 3) - 15 + 4}{n + 3} = \frac{5(n + 3) - 11}{n + 3} = \frac{5(n + 3)}{n + 3} - \frac{11}{n + 3} = 5 - \frac{11}{n + 3}$

Для того чтобы полученное выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы $\frac{11}{n + 3}$ было целым числом, а результат вычитания $5 - \frac{11}{n + 3}$ был натуральным числом (то есть $\ge 1$).

Целочисленность $\frac{11}{n + 3}$ означает, что $n+3$ должно быть делителем числа 11. Делителями 11 являются числа $\pm 1, \pm 11$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n+3 \ge 1+3=4$. Из всех делителей числа 11 этому условию удовлетворяет только число 11.

Следовательно, $n + 3 = 11$, откуда $n = 8$.

Проверим, будет ли значение выражения натуральным при $n=8$:

$5 - \frac{11}{8 + 3} = 5 - \frac{11}{11} = 5 - 1 = 4$.

Число 4 — натуральное, значит, $n=8$ является решением.

Ответ: $n = 8$.

в) выражение $\frac{7n + 12}{n}$ является натуральным числом;

Преобразуем выражение, аналогично пункту а):

$\frac{7n + 12}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{12}{n} = 7 + \frac{12}{n}$

Для того чтобы сумма $7 + \frac{12}{n}$ была натуральным числом (при натуральном $n$), необходимо, чтобы $\frac{12}{n}$ было целым и положительным числом. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 12.

Перечислим все натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Для каждого из этих значений $n$ выражение будет натуральным числом:

При $n=1: 7 + 12 = 19$.

При $n=2: 7 + 6 = 13$.

При $n=3: 7 + 4 = 11$.

При $n=4: 7 + 3 = 10$.

При $n=6: 7 + 2 = 9$.

При $n=12: 7 + 1 = 8$.

Ответ: $n \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

г) выражение $\frac{7n + 11}{n - 5}$ является натуральным числом.

По условию, $n$ — натуральное число. Знаменатель $n - 5$ не должен быть равен нулю, то есть $n \ne 5$.

Выделим целую часть дроби:

$\frac{7n + 11}{n - 5} = \frac{7(n - 5) + 35 + 11}{n - 5} = \frac{7(n - 5) + 46}{n - 5} = 7 + \frac{46}{n - 5}$

Чтобы это выражение было натуральным числом, $7 + \frac{46}{n - 5}$ должно быть натуральным числом. Это требует, чтобы $\frac{46}{n - 5}$ было целым числом, то есть $n-5$ должно быть делителем числа 46.

Делители числа 46: $\pm 1, \pm 2, \pm 23, \pm 46$.

Кроме того, значение выражения $7 + \frac{46}{n - 5}$ должно быть $\ge 1$, что означает $\frac{46}{n - 5} \ge -6$.

Рассмотрим все возможные значения $n-5$, для которых $n$ будет натуральным:

1. $n - 5 = 1 \implies n = 6$. Выражение равно $7 + 46 = 53$ (натуральное).

2. $n - 5 = 2 \implies n = 7$. Выражение равно $7 + 23 = 30$ (натуральное).

3. $n - 5 = 23 \implies n = 28$. Выражение равно $7 + 2 = 9$ (натуральное).

4. $n - 5 = 46 \implies n = 51$. Выражение равно $7 + 1 = 8$ (натуральное).

5. $n - 5 = -1 \implies n = 4$. Выражение равно $7 - 46 = -39$ (не натуральное).

6. $n - 5 = -2 \implies n = 3$. Выражение равно $7 - 23 = -16$ (не натуральное).

Остальные делители ($ -23, -46$) дают не натуральные значения $n$.

Таким образом, подходят только те значения $n$, для которых $n-5$ является положительным делителем числа 46.

Ответ: $n \in \{6, 7, 28, 51\}$.