Номер 1.11, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.11. Найдите все натуральные числа x и y такие, что:

a) $7x + 12y = 50;$

б) $11x + 18y = 98;$

в) $5x - y = 17;$

г) $5x - 11y = 137.$

а)

Дано уравнение $7x + 12y = 50$, где $x$ и $y$ — натуральные числа ($x \ge 1, y \ge 1$).

Поскольку $x$ и $y$ — положительные числа, мы можем оценить их возможные значения. Из уравнения следует, что $12y < 50$ и $7x < 50$.

Из $12y < 50$ получаем $y < \frac{50}{12} \approx 4.16$. Следовательно, $y$ может принимать значения $1, 2, 3, 4$.

Из $7x < 50$ получаем $x < \frac{50}{7} \approx 7.14$. Следовательно, $x$ может принимать значения $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Проверим возможные значения для $y$, так как их диапазон меньше. Выразим $x$ через $y$: $7x = 50 - 12y$.

- Если $y = 1$, то $7x = 50 - 12 = 38$. $x = \frac{38}{7}$, не является натуральным числом.

- Если $y = 2$, то $7x = 50 - 24 = 26$. $x = \frac{26}{7}$, не является натуральным числом.

- Если $y = 3$, то $7x = 50 - 36 = 14$. $x = \frac{14}{7} = 2$. Это натуральное число. Таким образом, пара $(2, 3)$ является решением.

- Если $y = 4$, то $7x = 50 - 48 = 2$. $x = \frac{2}{7}$, не является натуральным числом.

Таким образом, существует единственное решение в натуральных числах.

Ответ: $x=2, y=3$.

б)

Дано уравнение $11x + 18y = 98$, где $x, y$ — натуральные числа.

Так как $x \ge 1$ и $y \ge 1$, то $11x \ge 11$ и $18y \ge 18$.

В уравнении $11x + 18y = 98$ слагаемые $18y$ и $98$ являются четными числами. Следовательно, $11x$ также должно быть четным. Поскольку 11 — нечетное число, $x$ должен быть четным.

Также, из $11x = 98 - 18y$ следует, что $11x < 98$, то есть $x < \frac{98}{11} \approx 8.9$.

Учитывая, что $x$ — четное натуральное число, возможные значения для $x$: $2, 4, 6, 8$.

Подставим эти значения в уравнение:

- Если $x=2$, то $11(2) + 18y = 98 \implies 22 + 18y = 98 \implies 18y = 76$. $y = \frac{76}{18}$, не натуральное число.

- Если $x=4$, то $11(4) + 18y = 98 \implies 44 + 18y = 98 \implies 18y = 54 \implies y = 3$. Это натуральное число. Пара $(4, 3)$ является решением.

- Если $x=6$, то $11(6) + 18y = 98 \implies 66 + 18y = 98 \implies 18y = 32$. $y = \frac{32}{18}$, не натуральное число.

- Если $x=8$, то $11(8) + 18y = 98 \implies 88 + 18y = 98 \implies 18y = 10$. $y = \frac{10}{18}$, не натуральное число.

Следовательно, существует только одно решение в натуральных числах.

Ответ: $x=4, y=3$.

в)

Дано уравнение $5x - y = 17$, где $x, y$ — натуральные числа.

Выразим $y$ через $x$: $y = 5x - 17$.

По условию, $y$ должно быть натуральным числом, то есть $y \ge 1$.

Это накладывает ограничение на $x$: $5x - 17 \ge 1 \implies 5x \ge 18 \implies x \ge \frac{18}{5} = 3.6$.

Так как $x$ также является натуральным числом, наименьшее возможное значение для $x$ — это 4. Таким образом, $x$ может быть любым натуральным числом, большим или равным 4.

Для любого такого $x$ мы получаем соответствующее натуральное значение $y$. Например: при $x=4$, $y=5(4)-17=3$; при $x=5$, $y=5(5)-17=8$; при $x=6$, $y=5(6)-17=13$. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Ответ: все пары натуральных чисел $(x, y)$ вида $(x, 5x-17)$, где $x$ — любое натуральное число, такое что $x \ge 4$.

г)

Дано уравнение $5x - 11y = 137$ в натуральных числах $x, y$.

Из уравнения следует $5x = 137 + 11y$. Это означает, что $137 + 11y$ должно делиться на 5. Рассмотрим это выражение по модулю 5:

$137 + 11y \equiv 0 \pmod 5$.

Так как $137 = 5 \cdot 27 + 2 \equiv 2 \pmod 5$ и $11 = 5 \cdot 2 + 1 \equiv 1 \pmod 5$, получаем:

$2 + 1 \cdot y \equiv 0 \pmod 5 \implies y \equiv -2 \pmod 5 \implies y \equiv 3 \pmod 5$.

Это значит, что $y$ можно представить в виде $y = 5k + 3$ для некоторого целого числа $k$.

Поскольку $y$ — натуральное число, $y \ge 1$. Отсюда $5k + 3 \ge 1 \implies 5k \ge -2 \implies k \ge -0.4$. Так как $k$ — целое, $k$ может быть любым целым неотрицательным числом ($k \ge 0$).

Подставим выражение для $y$ в исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$5x - 11(5k + 3) = 137$

$5x - 55k - 33 = 137$

$5x = 170 + 55k$

Разделив обе части на 5, получим: $x = 34 + 11k$.

При $k \ge 0$, значение $x = 34 + 11k$ всегда будет натуральным числом (наименьшее значение $x=34$ при $k=0$).

Таким образом, все решения в натуральных числах задаются парой формул для $x$ и $y$ через параметр $k$.

Ответ: все пары натуральных чисел $(x, y)$ вида $(34 + 11k, 3 + 5k)$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k \ge 0$).