Номер 1.4, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.4. Может ли произведение $103$ идущих подряд натуральных чисел не делиться:

а) на $103$;

б) на $618$;

в) на $642$;

г) на $3193$?

Рассмотрим произведение $P$ ста трех идущих подряд натуральных чисел. Пусть эти числа $n+1, n+2, \dots, n+103$, где $n$ - неотрицательное целое число ($n \ge 0$). Таким образом, $P = (n+1)(n+2)\dots(n+103)$. Для решения задачи воспользуемся свойством делимости: среди любых $k$ идущих подряд целых чисел ровно одно делится на $k$.

Рассматривается произведение 103 идущих подряд натуральных чисел. Число 103 является простым. Согласно свойству, упомянутому выше, среди любых 103 последовательных натуральных чисел обязательно найдется одно, которое делится на 103. Так как один из множителей в произведении $P$ делится на 103, то и все произведение $P$ делится на 103. Следовательно, произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не может не делиться на 103.

Ответ: не может.

Чтобы произведение $P$ не делилось на 618, оно не должно делиться хотя бы на один из простых множителей числа 618. Разложим 618 на простые множители: $618 = 2 \cdot 309 = 2 \cdot 3 \cdot 103$. Таким образом, для делимости на 618, произведение $P$ должно делиться на 2, 3 и 103.

1. Как показано в пункте а), $P$ всегда делится на 103.

2. В последовательности из 103 натуральных чисел есть как минимум $\lfloor 103/2 \rfloor = 51$ четное число. Следовательно, $P$ всегда делится на 2.

3. В последовательности из 103 натуральных чисел есть как минимум $\lfloor 103/3 \rfloor = 34$ числа, кратных трем. Следовательно, $P$ всегда делится на 3.

Поскольку $P$ всегда делится на 2, 3 и 103, а эти числа попарно взаимно просты, то $P$ всегда делится и на их произведение $2 \cdot 3 \cdot 103 = 618$. Таким образом, произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не может не делиться на 618.

Ответ: не может.

Разложим число 642 на простые множители: $642 = 2 \cdot 321 = 2 \cdot 3 \cdot 107$. Чтобы произведение $P$ не делилось на 642, достаточно, чтобы оно не делилось на 107 (поскольку 107 - простое число).

Для того чтобы произведение $P$ не делилось на 107, необходимо, чтобы ни один из 103 сомножителей не был кратен 107. Такое возможно, если вся последовательность из 103 чисел находится между двумя последовательными числами, кратными 107. Расстояние между двумя такими числами (например, 107 и 214) равно 107, и в этот промежуток можно поместить 106 натуральных чисел, не делящихся на 107.

Рассмотрим, например, последовательность натуральных чисел от 1 до 103. Их произведение $P = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 103 = 103!$. Поскольку 107 - простое число и $107 > 103$, ни одно из чисел в этой последовательности не делится на 107. Следовательно, их произведение $103!$ не делится на 107, а значит, не делится и на $642 = 2 \cdot 3 \cdot 107$.

Ответ: может.

Разложим число 3193 на множители. Проверим делимость на простые числа. $3193 = 31 \cdot 103$. Оба числа, 31 и 103, являются простыми. Чтобы произведение $P$ делилось на 3193, оно должно делиться и на 31, и на 103.

1. Как мы установили в пункте а), произведение 103 идущих подряд натуральных чисел всегда делится на 103.

2. Рассмотрим делимость на 31. Так как $103 > 31$, в любой последовательности из 103 идущих подряд натуральных чисел обязательно встретится число, кратное 31. Более того, таких чисел будет как минимум $\lfloor 103/31 \rfloor = 3$. Значит, произведение $P$ всегда делится на 31.

Поскольку $P$ всегда делится на 31 и на 103, а эти числа взаимно просты, то $P$ всегда делится на их произведение $31 \cdot 103 = 3193$. Следовательно, произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не может не делиться на 3193.

Ответ: не может.